Un gioco dicarte

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21 dic 2016, 13:31

Alcuni miei studenti mi hanno proposto la costruzione di un modello combinatorio per il seguente gioco di carte.

Si ha a disposizione un mazzo di carte napoletane (40 carte, 4 semi, ogni seme ha 7 numeri e 3 figure[nota]Numeri: $\text{Asso} = 1, 2,\ldots , 7$ e le figure $\text{Donna}=8, \text{Cavallo} = 9, \text{Re} = 10$[/nota]) mescolato e si estraggono le carte (dal lato coperto, ovviamente) nell'ordine in cui si presentano:

[*:1cm6f8jn] Se la prima carte è $1$ (ossia $\text{Asso}$), il gioco termina e si perde; altrimenti si va avanti e si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la seconda carta è $2$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la terza carta è $3$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la quarta carta è $1$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la quinta carta è $2$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la sesta carta è $3$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Etc...[/*:m:1cm6f8jn][/list:u:1cm6f8jn]
In generale, dunque, per $n=1,2,\ldots $:

[*:1cm6f8jn] Se la carta $3n-2$-esima è $1$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la $3n-1$-esima carta estratta è $2$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.
[/*:m:1cm6f8jn]
[*:1cm6f8jn] Se la $3n$-esima carta è $3$, il gioco termina e si perde; altrimenti si scopre un'altra carta.[/*:m:1cm6f8jn][/list:u:1cm6f8jn]
Il gioco termina con la vittoria del giocatore se le carte del mazzo vengono tutte scoperte.

Si vuole sapere quante tra le possibili combinazioni del mazzo (cioè quanti mazzi mescolati) sono quelle che garantiscono la vittoria sulle combinazioni possibili (che sono $40!$), ossia quale sia la probabilità di vittoria al gioco.

Qualche idea?
Ho provato a contare un po' di casi, ma mi sono arenato... I problemi di conteggio li odio profondamente.

Risposte

kobeilprofeta

21 dic 2016, 14:03

Ciao gugo.
Il problema era stato già posto qua sul forum, forse anche in una sua variante (in cui non conto solo: 1,2,3 , ma fino al 10).

Se non ricordo male, si era arrivati alla conclusione che non si andava da nessuna parte, ma bisognasse agire contando tutti i casi possibili (computer).