Ulteriore assegnazione probabilità, eventi indipendenti e probabilità condizionata
Siano $A$, $B$, $C$ tre eventi stocasticamente indipendenti di probabilità $P(C)=P(B)=P(A)=1/4$ e $D$ un evento incompatibile con $A∨B$ con $P(D)=1/8$. Si calcoli $p_1=P(B|A∨C∨B^c)$, $p_2=P(A^c|B^c∨D)$. Si calcoli poi il massimo valore $α$ che si può assegnare alla probabilità di un evento $E$ tale che $E∧(A∨B∨C∨D)=∅$
In quanto $A$, $B$ e $C$ sono stocasticamente indipendenti, si deve avere:
${(P(A∧B∧C)=P(A)P(B)P(C)=1/64),(P(A∧B)=P(A)P(B)=1/16),(P(A∧C)=P(A)P(C)=1/16),(P(B∧C)=P(B)P(C)=1/16):} rarr {(C1=1/64),(C2=3/64),(C3=3/64),(C4=3/64),(C5=9/64),(C6=9/64),(C7+C8=9/64),(C8+C9=1/8),(C9+C10+C11=27/64):}$
Utilizzando la formula $P(E|H)=(P(E∧H))/(P(H))$ calcoliamo $p_1$ e $p_2$:
[*:14hlbxmh]$p_1=P(B|A∨C∨B^c)=(P(B∧(A∨C∨B^c)))/(P(A∨C∨B^c))=(P(B∧(A∨C)))/(P(A∨C∨B^c))=(7/64)/(1-9/64)=7/55$[/*:m:14hlbxmh]
[*:14hlbxmh]$p_2=P(A^c|B^c∨D)=(P(A^c∧(B^c∨D)))/(P(B^c∨D))=(P(A^c∧B^c))/(P(B^c))=(1-28/64)/(1-16/64)=3/4$[/*:m:14hlbxmh][/list:u:14hlbxmh]
Infine, da $C9+C10+C11=27/64$ notiamo subito che $C10$, cioè $P(E)$ e quindi $α$, è massimo se $C9$ e $C11 = 0$. Il massimo valore $α$ che si può assegnare è $27/64$
Risposte
Dunque.....premesso che ci ho messo circa 2 minuti per risolvere il problema e almeno 15 per capire la tua soluzione...I risultati sono TUTTI CORRETTI.
Come già discusso precedentemente, devi sempre fare come la tua prof vuole che tu faccia (oltretutto io non sono un insegnante e faccio queste cose solo per diletto)
Nel contempo, mi permetto di consigliare (ad altri utenti) un procedimento molto più snello ed efficace.
Infatti, fatto il diagramma così
E' davvero banale compilare la probabilità delle singole aree...l'intersezione fra i 3 eventi indipendenti è $1/64$, quella fra due eventi indipendenti è $4/64$ ecc ecc sommando e sottraendo trovi tutti i valori in massimo 1 minuto.
Un altro minuto per arrivare alle soluzioni richieste (basta contare le aree di interesse che sono già tutte contrassegnate dalla relativa probabilità
Il grafico che ho fatto è più efficiente del tuo: Nella traccia non si dice che D non può essere sottoinsieme di C....E quindi risulta tutto l'insieme complementare all'unione dei 3 eventi indipendenti.
E' un esercizio molto simile a QUESTO
Ciò premesso, hai sicuramente capito come destreggiarti in questi esercizi e quindi secondo me puoi passare oltre.
ciao
Come già discusso precedentemente, devi sempre fare come la tua prof vuole che tu faccia (oltretutto io non sono un insegnante e faccio queste cose solo per diletto)
Nel contempo, mi permetto di consigliare (ad altri utenti) un procedimento molto più snello ed efficace.
Infatti, fatto il diagramma così
E' davvero banale compilare la probabilità delle singole aree...l'intersezione fra i 3 eventi indipendenti è $1/64$, quella fra due eventi indipendenti è $4/64$ ecc ecc sommando e sottraendo trovi tutti i valori in massimo 1 minuto.
Un altro minuto per arrivare alle soluzioni richieste (basta contare le aree di interesse che sono già tutte contrassegnate dalla relativa probabilità
Il grafico che ho fatto è più efficiente del tuo: Nella traccia non si dice che D non può essere sottoinsieme di C....E quindi risulta tutto l'insieme complementare all'unione dei 3 eventi indipendenti.
E' un esercizio molto simile a QUESTO
Ciò premesso, hai sicuramente capito come destreggiarti in questi esercizi e quindi secondo me puoi passare oltre.
ciao
"tommik":
Dunque.....premesso che ci ho messo circa 2 minuti per risolvere il problema e almeno 15 per capire la tua soluzione...I risultati sono TUTTI CORRETTI.
Grazie @tommik! Sono felice che l'esercizio torna ma, in effetti, hai ragione tu a fare il diagramma con il minor numero di costituenti che rispetti la consegna, ma ricordo che la mia professoressa aveva detto che, se non è specificato, gli eventi si intersecano in tutti i modi possibili (cioè, sono logicamente indipendenti). Se in sede di esame facessi come giustamente consigli tu e la prof mi contestasse lo svolgimento, come la potrei "convincere"?
"yankarinRG":
la mia professoressa aveva detto che, se non è specificato, gli eventi si intersecano in tutti i modi possibili
Qui nella traccia è specificato, solo che occorre ragionare.....si chiede di trovare il massimo valore che può assumere la probabilità di E.... e tale massimo si trova quando $D sub C$. si vede bene anche dal tuo grafico, se sposti D dentro a C...vedi che $P(E)$ aumenta; certo non dovevi disegnare E come evento a sé....E è il complementare dell'unione degli altri.
Quindi secondo me il tuo disegno non va bene.
ciao
$E$ non è a sé stante sempre per il discorso di semplificazione del grafico? Se è così allora penso proprio di aver capito la motivazione
Ti faccio la stessa richiesta dell'esercizio ma scritta diversamente...... Abbiamo due eventi, A e B, disgiunti. Qual è la massima probabilità di A?
(non servono molti conti o complicate procedure per rispondere....)
Prova infine questo:
(non servono molti conti o complicate procedure per rispondere....)
Prova infine questo:
Si abbiano due eventi A e B per i quali sono definiti i seguenti costituenti di $Omega$
$C_1=A nn B$
$C_2= bar(A) nn B$
$C_3=bar(A) nn bar(B)$
L'assegnazione di probabilità $P(A)=1/3$ e $P(B)=1/4$ è coerente?
"tommik":
Ti faccio la stessa richiesta dell'esercizio ma scritta diversamente...... Abbiamo due eventi, A e B, disgiunti. Qual è la massima probabilità di A?
(non servono molti conti o complicate procedure per rispondere....)
Dovrebbe essere $1-P(B)$?
"tommik":
Prova infine questo:
Si abbiano due eventi A e B per i quali sono definiti i seguenti costituenti di $ Omega $
$ C_1=A nn B $
$ C_2= bar(A) nn B $
$ C_3=bar(A) nn bar(B) $
L'assegnazione di probabilità $ P(A)=1/3 $ e $ P(B)=1/4 $ è coerente?
Si ha il grafico:
${(C1 = 1/3),(C2 = 1/4 - 1/3 = -1/12),(C3 = 1 - P(B) = 3/4):}$
Ma $C2≱0$ quindi l'assegnazione di probabilità non è coerente.
perfetto! come vedi qui hai interpretato benissimo il testo.....
Anche qui, però, per rispondere non è così necessario fare tutti i conti....che l'assegnazione non sia coerente è evidente dal fatto che, essendo $A sub B$, $A$ non può avere una probabiltà maggiore dell'evento nel quale è incluso.
Penso che tu possa fiduciosamente passare oltre
Anche qui, però, per rispondere non è così necessario fare tutti i conti....che l'assegnazione non sia coerente è evidente dal fatto che, essendo $A sub B$, $A$ non può avere una probabiltà maggiore dell'evento nel quale è incluso.
Penso che tu possa fiduciosamente passare oltre
Bene! Si, era istantaneo vedere che essendo $A⊂B$, deve essere $B>A$ però ho incluso il sistema "per educazione" 
Invece, riguardo all'ultimo esercizio che mi hai proposto, ovviamente con 3 costituenti si fa quasi ad occhio. Per esercizi un po' più complessi, esiste una procedura effettiva per ottenere il diagramma dai costituenti?
Invece, riguardo all'ultimo esercizio che mi hai proposto, ovviamente con 3 costituenti si fa quasi ad occhio. Per esercizi un po' più complessi, esiste una procedura effettiva per ottenere il diagramma dai costituenti?
La procedura è quella che sai e che ti ha spiegato la prof.
Perfetto ho rivisto gli appunti e credo di aver capito il procedimento, da adesso cambierò tipo di esercizio
Grazie @tommik
Grazie @tommik
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