Trovare la distribuzione

[Ricocarol]

Sono indeciso su come risolvere correttamente il seguente esercizio:

$X= (Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2) $

$Z_1$, $Z_2$ e $Z_3$ sono tre variabili casuali indipendenti con distribuzione normale standard

Trova la distribuzione di $X$

Direi che siccome $X$ è una combinazione lineare di variabili normali segue anch'essa una distribuzione normale. Come posso trovare $\mathbb{E}(X)$ e $\mathbb{V}(X)$?

[Lo_zio_Tom]

Quella che stai cercando è esattamente la definizione di una distribuzione nota: una chi-quadro con 3 gradi di libertà. quindi media e varianza sono note. Nel link che ho inserito basta leggere al paragrafo "definizione"

$\mathbb{E}[X]=3$

$\mathbb{V}[X]=6$

se vuoi dimostrarlo, prima provi che $Z_1^2$ è una chi quadro con un grado di libertà (facile, basta usare il teorema fondamentale di trasfomazione) poi usi la proprietà di riproducibilità delle densità gamma...o la funzione generatrice dei momenti e le sue proprietà.
Media e varianza possono ovviamente essere calcolate anche analiticamente senza troppe difficoltà.

Il modo più rapido di calcolare media e varianza di $X$ è il seguente

$\mathbb{E}[X]=3\mathbb{E}[Z_1^2]=3$

$\mathbb{V}[X]=3\mathbb{V}[Z_1^2]=3[\mathbb{E}(Z_1^4)-\mathbb{E}^2(Z_1^2)]=3[(4!)/(2^2\cdot2)-1] =6$

Ho modificato il tuo messaggio per renderlo più leggibile...spero di aver capito bene cosa intendi calcolare. Dico questo perché mi pare tu avessi indicato i termini della somma al quadrato...e quindi $X$ non è una combinazione lineare...fammi sapere

[Ricocarol]

Grazie, era proprio la riposta che cercavo!