Trovare la densità di un vettore aleatorio
Ciao a tutti. Da giorni ho un problema con un esercizio di probabilità e ho provato in ogni modo, ma non riesco a risolverlo. Mi potete aiutare? Ammetto di non avere ancora molta dimestichezza con i vettori aleatori.
L'esercizio è:
Siano $ X $, $ Y $ due v.a. indipendenti con legge uniforme sull'intervallo $[0,1]$. Trovare la densità della v.a. $XY$.
L'esercizio è:
Siano $ X $, $ Y $ due v.a. indipendenti con legge uniforme sull'intervallo $[0,1]$. Trovare la densità della v.a. $XY$.
Risposte
Le variabili aleatorie \(X\) e \(Y\) sono indipendenti e uniformemente distribuite su \([0,1]\): ne segue che, se \(E\) è un sottoinsieme (misurabile) del quadrato \(Q = [0,1] \times [0,1]\), allora
\[\mathbb{P}((X,Y) \in E) = \text{Area}\,E\]
In particolare, abbiamo
\[\mathbb{P}(a < XY < b) = \text{Area}\,Q_{ab}\]
dove \(Q_{ab}\) è la parte del quadrato \(Q\) compresa tra i due rami di iperbole \(xy = a\) e \(xy = b\).
Il calcolo di un semplice integrale mostra che
\[
\text{Area}\,Q_{ab} = \int_a^b - \log s \,\,\mathrm{d}s
\]
In conclusione, abbiamo trovato la relazione \(\,\mathbb{P}(a < XY < b) = \int_a^b -\log s \,\, \mathrm{d}s\), da cui deduciamo che la densità della v. a. \(XY\) è data dalla funzione \(\rho(s) = - \log s\).
\[\mathbb{P}((X,Y) \in E) = \text{Area}\,E\]
In particolare, abbiamo
\[\mathbb{P}(a < XY < b) = \text{Area}\,Q_{ab}\]
dove \(Q_{ab}\) è la parte del quadrato \(Q\) compresa tra i due rami di iperbole \(xy = a\) e \(xy = b\).
Il calcolo di un semplice integrale mostra che
\[
\text{Area}\,Q_{ab} = \int_a^b - \log s \,\,\mathrm{d}s
\]
In conclusione, abbiamo trovato la relazione \(\,\mathbb{P}(a < XY < b) = \int_a^b -\log s \,\, \mathrm{d}s\), da cui deduciamo che la densità della v. a. \(XY\) è data dalla funzione \(\rho(s) = - \log s\).
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