Trovare funzione di densità di una funzione continua per una discreta

[Gotico92]

Esercizio ostico chiedo aiuto a voi esperti:
Sia
$ F(x)={ ( 0 (x<-1) ),( (x+1)/2 (-1<=x<0 )),( sqrt(x+1)/2 (0<=x<15) ),( 1 (x>=15) ):} $

Con F(x)= funzione di distribuzione cumulata

Data Y indipendente da X tale che $ P[Y=0]=P[Y=1]=P[Y=2]=1/3 $ determinare funzione di distribuzione cumulata di XY e dire se XY ammette densità e calcolarla se ammette densità.

So che la derivatà della funzione di densità e' la derivata della funzione di distribuzione cumulata,
per ammettere densità la funzione di distribuzione cumulata deve essere continua.
Vorrei capire però come va svolto.

[Gotico92]

il testo diceva $ F(x)={ ( 0 (x<-1) ),( a(x+1) (-1<=x<0 )),( sqrt(x+1)/2 (0<=x=b) ):} $
nel precedente punto diceva determinare a,b in modo che f sia la funzione di distribuzione cumulata di una variabile casuale x con densità ma io so che:
$ int_(-oo )^(+oo ) f(x) dx =1 $
con f(x) densità quindi ho fatto so che $ F(x)'=f(x) $
quindi $ f(x)={ ( 0 (x<-1) ),( a (-1<=x<0 )),( 1/(4*sqrt(x+1)) (0<=x=b) ):} $

successivamente $ int_(-1)^(0) a dx + int_(0)^(b) 1/(4sqrt(x+1)) dx = a+ 1/2sqrt(b+1)-1/2 $ se non ho fatto errori:
$ a+ 1/2sqrt(b+1)-1/2=1 $ con $ a>=0 $ e $ b>=0 $ imposto a=1/2 b=3 si ho fatto un errore di calcolo

Potresti aiutarmi per l'esercizio con b=3 al posto di 15

[Gotico92]

Aggiungo il procedimento che ho fatto io dell'esercizio da calcolare la distribuzione cumulativa XY
$ Z=XY $

$ F_z(z)= P[Z<= z] = P[x*y<=z | y=0] * P[y=0] + P[x*y<=z | y=1] * P[y=1] + P[x*y<=z | y=2] * P[y=2]= 1/3(P[0<=z]+P[x<=z]+P[2x<=z]) $

quindi:
$ P[0<=z]={ ( 1(Z>=0) ),( 0 (Z<0) ):} $
$ P[x<=z]=int_(-oo )^(z) f(x) dx $
$ P[2x<=z]=P[x<=z/2]=int_(-oo )^(z/2) f(x) dx $
f(x) densità calcolata prima
Poi sono molto confuso forse ho sbagliato qualcosa

[bassi0902]

Scusate l'intrusione, ma ponendo $a=1 , b=0$ si ottiene lo stesso una densitá... che é una uniforme traslata a sinistra... non mi sembra che il testo dell'esercizio lo vieti visto che dice solo $a,b \geq 0$. Non ho capito da dove saltano fuori i valori di $a$ e $b$ che avete usato.

Cosí dovrebbe essere un gioco da ragazzi. La distribuzione diventerebbe

$ F(x)={ ( 0 (x<-1) ),( x+1 (-1<=x<0 )),( 1 (x>=0) ):} $