Trovare E(X) del numero di semi in una mano
Sarebbe:
Se X=1 le 5 carte in mano sono dello stesso seme.
Se X=2 ho esattamente 4 carte dello stesso seme e l'atra di un altro seme diverso.
Se X=3 ho esattamente 3 carte dello stesso seme e le altre 2 di semi diversi
Se X=4 ho esattamente 2 carte dello stesso seme e le altre 3 di semi diversi.
L'ho interpretata bene?
Se X=1 le 5 carte in mano sono dello stesso seme.
Se X=2 ho esattamente 4 carte dello stesso seme e l'atra di un altro seme diverso.
Se X=3 ho esattamente 3 carte dello stesso seme e le altre 2 di semi diversi
Se X=4 ho esattamente 2 carte dello stesso seme e le altre 3 di semi diversi.
L'ho interpretata bene?
Risposte
Se il mio ragionamento fila mi trovo:
$P(X=1) = (((13),(5)))/(((52),(5)))$
$P(X=2) = (((13),(4)) ((39),(1)))/(((52),(5)))$
$P(X=3) = (((13),(3)) ((39),(1)) ((26),(1)))/(((52),(5)))$
$P(X=4) = (((13),(2))((39),(1)) ((26),(1)) ((13),(1)))/(((52),(5)))$
In conclusione:
$E(X) = 1P(X=1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) + 4P(X=4)$
$P(X=1) = (((13),(5)))/(((52),(5)))$
$P(X=2) = (((13),(4)) ((39),(1)))/(((52),(5)))$
$P(X=3) = (((13),(3)) ((39),(1)) ((26),(1)))/(((52),(5)))$
$P(X=4) = (((13),(2))((39),(1)) ((26),(1)) ((13),(1)))/(((52),(5)))$
In conclusione:
$E(X) = 1P(X=1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) + 4P(X=4)$
io noto due cose in cui non mi ritrovo:
X=2 e X=3 non credo significhi solo quello che hai detto;
in tutti i casi quando parli di un seme non hai specificato di quale seme parli.
OK?
X=2 e X=3 non credo significhi solo quello che hai detto;
in tutti i casi quando parli di un seme non hai specificato di quale seme parli.
OK?
La traccia non specifica un determinato seme, quindi io ho presupposto nei casi favorevoli che si debba avere uno specifico seme per le carte uguali. Allora anche in:
$P(X=1) = (((52),(1)) ((12),(4)))/(((52),(5)))$
Dato che la prima carta che vedo può essere di un qualsiasi seme, mentre le altre dello stesso seme.
Giusto?
$P(X=1) = (((52),(1)) ((12),(4)))/(((52),(5)))$
Dato che la prima carta che vedo può essere di un qualsiasi seme, mentre le altre dello stesso seme.
Giusto?
Non mi va di fare i conti, però controlla: dal tuo precedente calcolo di X=1 secondo me bastava moltiplicare per 4, controlla se viene lo stesso con l'altro metodo.
Vi ringrazio e penso di aver concluso con:
$P(X=1) * 4$ dato che le 13 carte favorevoli possono essere di 4 semi differenti
$P(X=2) * 4 * 3$ dato che le prime 4 carte possono essere di uno dei quattro semi, mentre la restante dei 3 semi rimasti.
$P(X=3) * 4 * 3 * 2$ stesso ragionamento
$P(X=4) * 4 * 3 * 2 * 1$
$P(X=1) * 4$ dato che le 13 carte favorevoli possono essere di 4 semi differenti
$P(X=2) * 4 * 3$ dato che le prime 4 carte possono essere di uno dei quattro semi, mentre la restante dei 3 semi rimasti.
$P(X=3) * 4 * 3 * 2$ stesso ragionamento
$P(X=4) * 4 * 3 * 2 * 1$
No, adesso comincio a pensare di non averci capito nulla del tuo dubbio!
Secondo quello che ho capito dal primo messaggio, la tua espressione per il calcolo della media era ineccepibile, quello che invece non trovavo corretto era il calcolo delle singole probabilità.
Ora ho ricontrollato il calcolo sulla tua correzione di X=1, e mi torna un fattore 5 di troppo, rispetto al vecchio calcolo moltiplicato per 4, anche se ora non ho molta fantasia per pensare come mai andrebbe diviso per 5.
Aggiungo qui che ,per quanto riguarda i casi X=2 e X=3, va considerato che le carte possono essere 2 di un seme e 3 di un altro oppure 2 di un seme, due di un altro e 1 di un terzo ...
non so se sono stata utile. rivedi un po' tutto e facci sapere.
Secondo quello che ho capito dal primo messaggio, la tua espressione per il calcolo della media era ineccepibile, quello che invece non trovavo corretto era il calcolo delle singole probabilità.
Ora ho ricontrollato il calcolo sulla tua correzione di X=1, e mi torna un fattore 5 di troppo, rispetto al vecchio calcolo moltiplicato per 4, anche se ora non ho molta fantasia per pensare come mai andrebbe diviso per 5.
Aggiungo qui che ,per quanto riguarda i casi X=2 e X=3, va considerato che le carte possono essere 2 di un seme e 3 di un altro oppure 2 di un seme, due di un altro e 1 di un terzo ...
non so se sono stata utile. rivedi un po' tutto e facci sapere.
"Paolovox":
Sarebbe:
Se X=1 le 5 carte in mano sono dello stesso seme.
Se X=2 ho esattamente 4 carte dello stesso seme e l'atra di un altro seme diverso.
Se X=3 ho esattamente 3 carte dello stesso seme e le altre 2 di semi diversi
Se X=4 ho esattamente 2 carte dello stesso seme e le altre 3 di semi diversi.
L'ho interpretata bene?
Secondo me no. Se la traccia dell'esercizio è tutto e solo il titolo del thread, cioè Trovare E(X) del numero di semi in una mano, allora hai scritto correttamente la determinazione $X = 1$ (e forse $X = 4$, perché la lingua italiana può essere truffaldina, ma neanche tanto..), mentre le altre sono errate (che è quello che ti sta dicendo anche @adaBTTLS).
$X=2$ è un evento che si verifica sia con la mano CCCCQ (4 carte dello stesso seme e una di seme diverso) che con CCCQQ, CCQQQ, CQQQQ, e le altre con altre coppie di semi..
La traccia è soltanto il titolo.
Si hai ragione sono casi che vanno sicuramente considerati.
Grazie.
Si hai ragione sono casi che vanno sicuramente considerati.
Grazie.
Comunque lo trovo un po' lungo da scrivere.
Nella speranza di velocizzare i tuoi calcoli ti faccio notare che la probabilità di $X = 2$ è pari alla probabilità che escano 2 specifici semi (e pure per questa devi fare qualche sommetta) moltiplicata per le combinazioni di 4 semi in gruppi da 2. Similmente la probabilità di $X = 3$ è pari alla probabilità che escano 3 specifici semi o, se vuoi, che manchi 1 seme specifico, moltiplicata per le combinazioni di 4 semi in gruppi da 3 (che sono 4).
Nella speranza di velocizzare i tuoi calcoli ti faccio notare che la probabilità di $X = 2$ è pari alla probabilità che escano 2 specifici semi (e pure per questa devi fare qualche sommetta) moltiplicata per le combinazioni di 4 semi in gruppi da 2. Similmente la probabilità di $X = 3$ è pari alla probabilità che escano 3 specifici semi o, se vuoi, che manchi 1 seme specifico, moltiplicata per le combinazioni di 4 semi in gruppi da 3 (che sono 4).
Prendo il tuo secondo messaggio perché è più facile correggere da lì.
$P(X=1) = (4*((13),(5)))/(((52),(5)))$
$P(X=2) = (12*((13),(4)) ((13),(1))+12*((13),(3)) ((13),(2)))/(((52),(5)))$
$P(X=3) = (12*((13),(3)) ((13),(1))^2 + 12* ((13),(1)) ((13),(2))^2)/(((52),(5)))$
$P(X=4) = (4*((13),(2)) ((13),(1)) ((13),(1)) ((13),(1)))/(((52),(5)))$
I coefficienti 4 e 12 vengono dal numero di possibilità di scegliere i semi:
nel caso X=1, è banale: puoi scegliere in 4 modi l'unico seme rappresentato;
nel caso X=2, sia 1+4 sia 2+3 sono distinti: il primo si sceglie in 4 modi, il secondo in 3 (4*3=12);
nel caso X=3, sia 3+1+1, sia 1+2+2, uno si sceglie in 4 modi e gli altri due in 3 (o anche i due uguali in 6 modi e l'altro in 2);
nel caso X=4, si sceglie in 4 modi il seme da cui prendi 2 carte e in 1 modo gli altri 3.
spero di non aver commesso errori, e spero che sia utile.
$P(X=1) = (4*((13),(5)))/(((52),(5)))$
$P(X=2) = (12*((13),(4)) ((13),(1))+12*((13),(3)) ((13),(2)))/(((52),(5)))$
$P(X=3) = (12*((13),(3)) ((13),(1))^2 + 12* ((13),(1)) ((13),(2))^2)/(((52),(5)))$
$P(X=4) = (4*((13),(2)) ((13),(1)) ((13),(1)) ((13),(1)))/(((52),(5)))$
In conclusione:
$E(X) = 1P(X=1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) + 4P(X=4)$
I coefficienti 4 e 12 vengono dal numero di possibilità di scegliere i semi:
nel caso X=1, è banale: puoi scegliere in 4 modi l'unico seme rappresentato;
nel caso X=2, sia 1+4 sia 2+3 sono distinti: il primo si sceglie in 4 modi, il secondo in 3 (4*3=12);
nel caso X=3, sia 3+1+1, sia 1+2+2, uno si sceglie in 4 modi e gli altri due in 3 (o anche i due uguali in 6 modi e l'altro in 2);
nel caso X=4, si sceglie in 4 modi il seme da cui prendi 2 carte e in 1 modo gli altri 3.
spero di non aver commesso errori, e spero che sia utile.
Il vostro aiuto è utilissimo e ringrazio nuovamente.
Utilizzando un altro approccio mi trovo:
$P(X=2) = ((13/52 * 12/51 * 11/50 * 10/49)*4 * 39/48 ) + ((13/52 * 12/51 * 11/50)*4 * 39/48 * 12/47) =$
$ = (52/52 * 12/51 * 11/ 50 * 10/49 * 39/48) + (52/52 * 12/51 * 11/50 * 39/48 * 12/47)$
Ho calcolato i casi in cui compaia una mano del tipo:
XXXXY e XXXYY
Ma questi tipi possono permutare tra di loro, quindi con le combinazioni non tenendo conto dell'ordine non vanno calcolate giusto?
P(X=2) esce circa il 53%
Utilizzando un altro approccio mi trovo:
$P(X=2) = ((13/52 * 12/51 * 11/50 * 10/49)*4 * 39/48 ) + ((13/52 * 12/51 * 11/50)*4 * 39/48 * 12/47) =$
$ = (52/52 * 12/51 * 11/ 50 * 10/49 * 39/48) + (52/52 * 12/51 * 11/50 * 39/48 * 12/47)$
Ho calcolato i casi in cui compaia una mano del tipo:
XXXXY e XXXYY
Ma questi tipi possono permutare tra di loro, quindi con le combinazioni non tenendo conto dell'ordine non vanno calcolate giusto?
P(X=2) esce circa il 53%
quello che non mi convince è l'uso di 39, 38... dopo aver moltiplicato per 4.
il prodotto delle probabilità si può fare solo se gli eventi sono indipendenti.
io ed altri abbiamo provato invece ad usare la somma di vari casi incompatibili.
mi sono comunque divertita a raccogliere a fattor comune ed a confrontare il tuo risultato con il mio:
il tuo viene $(2*3*11*12*13*23^2)/(47*48*49*50*51)$, mentre il mio $(10*11*12^2*13^2*17)/(48*49*50*51*52)$.
divertiti un po' a riflettere. buona notte!
il prodotto delle probabilità si può fare solo se gli eventi sono indipendenti.
io ed altri abbiamo provato invece ad usare la somma di vari casi incompatibili.
mi sono comunque divertita a raccogliere a fattor comune ed a confrontare il tuo risultato con il mio:
il tuo viene $(2*3*11*12*13*23^2)/(47*48*49*50*51)$, mentre il mio $(10*11*12^2*13^2*17)/(48*49*50*51*52)$.
divertiti un po' a riflettere. buona notte!
Le disposizioni totali sono $(52!)/(47!)=311.875.200$
Di queste:
1) 5 carte con un seme:
AAAAA + BBBBB + CCCCC + DDDDD ------>$4 * 13*12*11*10*9 = 617.760$
$p(X=1) = 0,1961%$
2) 5 carte con due semi:
AAAAB + AAAAC + AAAAD +BBBBA + BBBBC + BBBBD + CCCCA + CCCCB + CCCCD + DDDDA + DDDDB + DDDDC ------> $4*3*5*13*12*11*10*13 = 13.384.800$
AAABB + AAACC + AAADD + BBBAA + BBBCC + BBBDD + CCCAA + CCCBB + CCCDD + DDDAA + DDDBB + DDDCC ------> $4*3*10*13*12*11*13*12 = 32.123.520$
$p(X=2) = 14,592%$
3) 5 carte con 3 semi:
AAABC + AAABD + AAACD + BBBAC + BBBAD + BBBCD + CCCAB + CCCAD + CCCBD + DDDAB + DDDAC + DDDBC ------> $4*3*20*13*12*11*13*13 = 69.600.960$
AABBC + AABBD + AACCB + AACCD + AADDB + AADDC + BBCCA + BBCCD + BBDDA + BBDDC + CCDDA + CCDDB ------> $12*30*13*12*13*12*13 = 113.892.480$
$p(X=3) = 58,836%$
4) 5 carte con 4 semi:
AABCD + BBACD + CCABD + DDABC ------> $4*60*13*12*13*13*13 = 82.255.680$
$p(X=4) = 26,375%$
Nino
Di queste:
1) 5 carte con un seme:
AAAAA + BBBBB + CCCCC + DDDDD ------>$4 * 13*12*11*10*9 = 617.760$
$p(X=1) = 0,1961%$
2) 5 carte con due semi:
AAAAB + AAAAC + AAAAD +BBBBA + BBBBC + BBBBD + CCCCA + CCCCB + CCCCD + DDDDA + DDDDB + DDDDC ------> $4*3*5*13*12*11*10*13 = 13.384.800$
AAABB + AAACC + AAADD + BBBAA + BBBCC + BBBDD + CCCAA + CCCBB + CCCDD + DDDAA + DDDBB + DDDCC ------> $4*3*10*13*12*11*13*12 = 32.123.520$
$p(X=2) = 14,592%$
3) 5 carte con 3 semi:
AAABC + AAABD + AAACD + BBBAC + BBBAD + BBBCD + CCCAB + CCCAD + CCCBD + DDDAB + DDDAC + DDDBC ------> $4*3*20*13*12*11*13*13 = 69.600.960$
AABBC + AABBD + AACCB + AACCD + AADDB + AADDC + BBCCA + BBCCD + BBDDA + BBDDC + CCDDA + CCDDB ------> $12*30*13*12*13*12*13 = 113.892.480$
$p(X=3) = 58,836%$
4) 5 carte con 4 semi:
AABCD + BBACD + CCABD + DDABC ------> $4*60*13*12*13*13*13 = 82.255.680$
$p(X=4) = 26,375%$
Nino
Concordo perfettamente con @adaBTTLS. Ragionamento conciso e preciso!
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