Trovare densità di probabilità
Salve a tutti! Ho sostenuto un esame proprio oggi e non sono riuscito a fare del tutto un esercizio sul trovare la densità di probabilità. Mi servirebbe tanto che mi aiutaste a risolverlo prima di domani, in modo che possa farmi un'idea di come si risolve veramente e esercitarmi ancora. Questo è l'esercizio:
Data la variabile aleatoria definita come $Y=X^2 -9$ con $X€U[0,10]$ ovvero è una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra 0 e 10. Bisogna trovare la densità di probabilità $f_Y (y)$ e la probabilità $Pr{Y<=5}$.
Innanzitutto, essendo X uniformemente distribuita tra 0 e 10, significa che possiamo esprimere la sua densità di probabilità come $f_X(x)=1/10 rect((t-5)/10)$.
A questo punto per risolvere questo tipo di esercizi a noi fanno usare il seguente metodo:
1) Scriviamo $f_Y(y)=d/dy(F_Y(y))=d/dyPr{X^2-9<=Y}=d/dyPr{x<=+-sqrt(y) + 9}$
Da cui si ottengono due soluzioni rispetto alla x, ovvero $x_1=9+sqrt(y)$ e $x_2=9-sqrt(y)$. Che valgono solo per valori della y maggiori o uguali a zero. In poche parole dobbiamo disegnare un grafico in cui compaiono nell'asse delle ascisse la X e nelle ordinate la $f_X(x)$ e in cui andiamo a disegnare sia la densità di probabilità di X che la funzione $g(x)=x^2-9$. La prima è la rect, mentre la seconda è una parabola con asse centrale quello delle ordinate e il vertice in -9, o sbaglio?
Cosa si deve fare adesso? Io ricordo che in un esercizio passato andiamo a trovare i punti di intersezione della parabola con la zona di definizione della variabile aleatoria, ovvero andiamo a trovare il valore di y per $x=0$ e per $x=10$. Ma dove devo andare ad operare la sostituzione? Se sostituisco rispettivamente a $x_1$ e a $x_2$ questi valori, ottengo 1 e 81. Che significa? Non capisco come possa la parabola incontrare l'asse delle ordinate nel punto 1 per x=0, che senso ha? Che razza di parabola è? Non dovrebbe essere -9 il punto di intersezione per x=0? I valori X=0 e X=10 si sostituiscono nella formula iniziale $y=x^2 - 9$ o nelle formule inverse $x= 9+-sqrt(y)$ ?
Dopodichè ricordo che quello che si fa è trovare la distribuzione di probabilità di Y ovvero fare gli integrali della densità negli intervalli di valori in cui la y ha delle soluzioni. Ma quali sono questi intervalli? Io penso siano $0
Scusatemi ma sono confusissimo. Purtroppo non ho mai fatto esercizi di questo tipi e questa è la prima volta che ne vedo uno del genere. Oggi me lo sono trovato davanti all'esame e non sapevo bene cosa fare
Perfavore aiutatemi a risolverlo entro domani
Data la variabile aleatoria definita come $Y=X^2 -9$ con $X€U[0,10]$ ovvero è una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra 0 e 10. Bisogna trovare la densità di probabilità $f_Y (y)$ e la probabilità $Pr{Y<=5}$.
Innanzitutto, essendo X uniformemente distribuita tra 0 e 10, significa che possiamo esprimere la sua densità di probabilità come $f_X(x)=1/10 rect((t-5)/10)$.
A questo punto per risolvere questo tipo di esercizi a noi fanno usare il seguente metodo:
1) Scriviamo $f_Y(y)=d/dy(F_Y(y))=d/dyPr{X^2-9<=Y}=d/dyPr{x<=+-sqrt(y) + 9}$
Da cui si ottengono due soluzioni rispetto alla x, ovvero $x_1=9+sqrt(y)$ e $x_2=9-sqrt(y)$. Che valgono solo per valori della y maggiori o uguali a zero. In poche parole dobbiamo disegnare un grafico in cui compaiono nell'asse delle ascisse la X e nelle ordinate la $f_X(x)$ e in cui andiamo a disegnare sia la densità di probabilità di X che la funzione $g(x)=x^2-9$. La prima è la rect, mentre la seconda è una parabola con asse centrale quello delle ordinate e il vertice in -9, o sbaglio?
Cosa si deve fare adesso? Io ricordo che in un esercizio passato andiamo a trovare i punti di intersezione della parabola con la zona di definizione della variabile aleatoria, ovvero andiamo a trovare il valore di y per $x=0$ e per $x=10$. Ma dove devo andare ad operare la sostituzione? Se sostituisco rispettivamente a $x_1$ e a $x_2$ questi valori, ottengo 1 e 81. Che significa? Non capisco come possa la parabola incontrare l'asse delle ordinate nel punto 1 per x=0, che senso ha? Che razza di parabola è? Non dovrebbe essere -9 il punto di intersezione per x=0? I valori X=0 e X=10 si sostituiscono nella formula iniziale $y=x^2 - 9$ o nelle formule inverse $x= 9+-sqrt(y)$ ?
Dopodichè ricordo che quello che si fa è trovare la distribuzione di probabilità di Y ovvero fare gli integrali della densità negli intervalli di valori in cui la y ha delle soluzioni. Ma quali sono questi intervalli? Io penso siano $0
Scusatemi ma sono confusissimo. Purtroppo non ho mai fatto esercizi di questo tipi e questa è la prima volta che ne vedo uno del genere. Oggi me lo sono trovato davanti all'esame e non sapevo bene cosa fare
Perfavore aiutatemi a risolverlo entro domani
Risposte
Pleaseee! C'è qualcuno che può aiutarmi prima di domani pomeriggio?
Ciao,
cosa è rect()?
"AlexlovesUSA":
Innanzitutto, essendo X uniformemente distribuita tra 0 e 10, significa che possiamo esprimere la sua densità di probabilità come $f_X(x)=1/10 rect((t-5)/10)$.
cosa è rect()?
Oh Dio, non penso mi potrete aiutare facilmente se non sapete di preciso cosa sia la rect. Comunque mi sembra strano; è possibile che ci sia un altro nome per indicarla e voi la conoscete in quel modo. Comunque, la rect è una funzione di forma rettangolare così definita
$rect(t)= 1$ per $-1/2
$rect(t)=1/2$ per $|t|=1/2$
Se poi vogliamo cambiarne la durata da 1 a un altro valore T, si scrive $rect(t/T)$ e se volessimo traslarla nel tempo a destra o a sinistra, scriviamo $rect(t-t_0)$, quindi quando scrivo $1/10 * rect((t-5)/10)$ significa che è un tratto costante di ampiezza $1/10$ e con il centro in 5 e di durata 10, quindi un rettangolo di larghezza 10 con il centro in 5 e alto $1/10$. Capito il concetto?
$rect(t)= 1$ per $-1/2
$rect(t)=1/2$ per $|t|=1/2$
Se poi vogliamo cambiarne la durata da 1 a un altro valore T, si scrive $rect(t/T)$ e se volessimo traslarla nel tempo a destra o a sinistra, scriviamo $rect(t-t_0)$, quindi quando scrivo $1/10 * rect((t-5)/10)$ significa che è un tratto costante di ampiezza $1/10$ e con il centro in 5 e di durata 10, quindi un rettangolo di larghezza 10 con il centro in 5 e alto $1/10$. Capito il concetto?
Per avere Y<5 occorre che X**2 sia <14 ossia x
Ok, ma c'è un metodo per calcolare questa probabilità con qualche integrale? Mi sembra che a lezione non abbiamo mai risolto usando questo metodo, ma una cosa simile a quella di sopra. Ora, siccome io non ho capito nemmeno quella di sopra, potreste spiegarmi il procedimento perfavore?? 
Topi ti ha semplicemente detto a parole quello che è il metodo usuale per sviluppare quelle probabilità (che sarà ció che hai visto a lezione).
$P(Y<5)=P(X^2-9<5)=P(X< sqrt(14))=int_0^{sqrt(14)} 1/10 dx = sqrt(14)/10$.
$P(Y<5)=P(X^2-9<5)=P(X< sqrt(14))=int_0^{sqrt(14)} 1/10 dx = sqrt(14)/10$.
Esattamente ragazzi! Scusate, ma ancora non avevo mai fatto esercizi del genere prima di ora, quindi in questi giorni mi sono studiato questa parte della teoria della probabilità e adesso ho capito tutto. Ho svolto l'esercizio del compito e questa volta penso proprio sia giusto. Eccolo:
La funzione è una parabola con vertice in -9 per cui, visto che la densità di probabilità della X è costante tra 0 e 10, solo il ramo destro della parabola viene coinvolto nei calcoli della probabilità. A questo punto scriviamo:
$Pr(Y<=y)=Pr(X^2-9<=y)$ Da quì si trova che le soluzioni dell'equazione per $y > -9$ sono due reali e sono $x_1=sqrt(9-y)$ e $x_2=-sqrt(9-y)$.
A noi interessa calcolare la probabilità all'interno della parabola solo per quei valori compresi dentro il rettangolo della X, ovvero tra 0 e 10, quindi per y che va da -9 a $10^2-9$ ovvero 91.
A questo punto possiamo trovare tre regioni di probabilità:a) la prima per y<-9 in cui la prob. è nulla, b) la seconda per $-9<=y<=91$ in cui calcoliamo la probabilità $Pr(0<=X<=sqrt(9-y))$ e infine c) la probabilità per $y>=91$ che è evento certo.
L'unico calcolo integrale che facciamo ( anche se non ce ne sarebbe bisogno) è quello per il caso b) cioè $1/10*int_(0)^(sqrt(9-y)) rect((x-5)/10) dx = sqrt(9-y)/10$.
Per calcolare la densità di probabilità richiesta dall'esercizio dobbiamo semplicemente derivare questo risultato ottenendo $-1/{2sqrt(9-y)} $.
Infine, la probabilità che sia minore o uguale a 5 si calcola come avete detto voi. E' corretto il procedimento? Sono giusti i risultati?
La funzione è una parabola con vertice in -9 per cui, visto che la densità di probabilità della X è costante tra 0 e 10, solo il ramo destro della parabola viene coinvolto nei calcoli della probabilità. A questo punto scriviamo:
$Pr(Y<=y)=Pr(X^2-9<=y)$ Da quì si trova che le soluzioni dell'equazione per $y > -9$ sono due reali e sono $x_1=sqrt(9-y)$ e $x_2=-sqrt(9-y)$.
A noi interessa calcolare la probabilità all'interno della parabola solo per quei valori compresi dentro il rettangolo della X, ovvero tra 0 e 10, quindi per y che va da -9 a $10^2-9$ ovvero 91.
A questo punto possiamo trovare tre regioni di probabilità:a) la prima per y<-9 in cui la prob. è nulla, b) la seconda per $-9<=y<=91$ in cui calcoliamo la probabilità $Pr(0<=X<=sqrt(9-y))$ e infine c) la probabilità per $y>=91$ che è evento certo.
L'unico calcolo integrale che facciamo ( anche se non ce ne sarebbe bisogno) è quello per il caso b) cioè $1/10*int_(0)^(sqrt(9-y)) rect((x-5)/10) dx = sqrt(9-y)/10$.
Per calcolare la densità di probabilità richiesta dall'esercizio dobbiamo semplicemente derivare questo risultato ottenendo $-1/{2sqrt(9-y)} $.
Infine, la probabilità che sia minore o uguale a 5 si calcola come avete detto voi. E' corretto il procedimento? Sono giusti i risultati?
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