Triplice condizionamento esponenziale

[mobley]

Da un testo d'esame è uscito fuori questo esercizio:

Siano $X,Y,Z$ indipendenti con legge esponenziale di parametri, rispettivamente, pari a $\lambda, \theta, \gamma$.
$a)$ Calcola $\mathbb(P)(X $b)$ Calcola $\mathbb(P)(X=min(X,Y,Z))$.
$c)$ Nel caso particolare in cui $\lambda=\theta=\gamma=1$, trovare la distribuzione della v.a. $T=max(X,Y,Z)$. Trovare anche la densità della v.a. $W=e^(-Y)$.
$d)$ Calcola $\mathbb(E)(X+Y+Z|X>1,Y>2,Z>3)$.

Allora, per i primi due punti credo di esserci.
$a)$ Per l'indipendenza $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\lambda\thetae^(-\lambdax)e^(-\thetay)$, da cui

$\mathbb(P)(Y>X)=\int_(0)^(+\infty)[\int_x^(+\infty)\lambda\thetae^(-\lambdax)e^(-\thetay)dy]dx=(\lambda)/(\lambda+\theta)$

$b)$ $\mathbb(P)(X=min(X,Y,Z))=(\lambda)/(\lambda+\theta+\gamma)$ perchè $F_K(k)=\mathbb(P)(K<=k)=\mathbb(P)(min(Y,Z)<=k)=\mathbb(P)(Y<=k,Z<=k)rArrK~ Exp(\theta+\gamma)$

e poi $\mathbb(P)(X=min(X,Y,Z))=\mathbb(P)(X $c)$ La densità di $T$ dovrebbe essere $f_T(t)=3e^(-t)(1-e^(-t))^2$, quindi con la legge di trasformazione delle variabili ottengo $f_W(w)=3(1-w)^2$. Non riesco però a ricondurre a nessuna distribuzione nota né $f_T$ né tantomeno $f_W(w)$, quindi temo di aver sbagliato qualcosa…
$d)$ Buio pesto. Avete qualche suggerimento?

[ghira1]

Per d, \(E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)\) e visto che le tre distribuzioni sono esponenziali, \(E(X | X>1)\) non è solamente \(1+E(X)\)? e così via. Magari sto sbagliando alla grande.

[mobley]

@ghira Grazie per la risposta. Quindi dovrebbe essere

$(1+1/\lambda)+(2+1/\theta)+(3+1/\gamma)=6+1/\lambda+1/\theta+1/\gamma$?

Ovviamente il fatto che le variabili siano indipendenti non cambia nulla, dato che la linearità del valore atteso vale sempre. Mi sfugge però il perchè di quegli $1+...$,$2+...$

In ogni caso per il punto $c)$ mi sono ricongiunto alla relativa distribuzione, che è una Beta di parametri $(1,3)$. Infatti dall'applicazione della Legge di trasformazione ottengo $f_W(w)=3(1-w)^2$ che coincide con quanto si ottiene dalla definizione di Beta:

$f_W(w)=(w^(1-1)(1-w)^(3-1))/(\int_0^1w^(1-1)(1-w)^(3-1)dw)=((1-w)^2)/([((1-w)^3)/(3)]_0^1)=3(1-w)^2$

[mobley]

@tommik Grazie per la risposta. Beh, l'assenza di memoria prevede che $\mathbb(P)(X>k+h|X>k)=\mathbb(P)(X>h)$, quindi dovrei avere

$\mathbb(E)[X+Y+Z|X>1,Y>2,Z>3]=\mathbb(E)(X|X>1)+\mathbb(E)(Y|Y>2)+\mathbb(E)(Z|Z>3)=\mathbb(E)(X>1)+\mathbb(E)(Y>2)+\mathbb(E)(Z>3)=e^(-\lambda)(1+1/\lambda)+e^(-2\theta)(2+1/\theta)+e^(-3\gamma)(3+1/\gamma)$

[ghira1]

@mobley con un'esponenziale, se aspetti \(t\) senza "successo" quanto, mediamente, devi aspettare ancora?

E sapendo che le tue tre variabili sono almeno 1, almeno 2 e almeno 3, la media della loro somma è palesemente almeno 6.

[Lo_zio_Tom]

"mobley":@tommik Grazie per la risposta

@mobley: ho eliminato il messaggio perché conteneva un hint per la correzione del tuo integrale (ora corretto) che preferisco evitare di lasciare pubblicato....

Leggendo bene la traccia (a meno che non ci sia un refuso) chiede di calcolare la distribuzione di $W=e^(-Y)$ dove $Y$ è un'esponenziale negativa di parametro uno. Di conseguenza $W$ è una uniforme in $(0;1)$, non servono nemmeno conti, basta applicare un noto, notissimo teorema.

Per quanto riguarda il calcolo del valore atteso condizionato, se proprio non riesci a capirlo in modo intuitivo o applicando la proprietà di assenza di memoria, puoi sempre fare i conti...mica ti fa male...

$f(x)=theta e^(-theta x)mathbb{1}_((0;oo))(x)$

$f(x|x>k)=e^(theta k)theta e^(-theta x)mathbb{1}_((k;oo))(x)$


$mathbb{E}[X|X>k]=e^(theta k)int_k^(+oo)theta x e^(-thetax)dx=...=k+1/theta$

[mobley]

"tommik":Leggendo bene la traccia (a meno che non ci sia un refuso) chiede di calcolare la distribuzione di $W=e^(-Y)$

E' un refuso. Sulla traccia è $W=e^-Y$ perchè in realtà le tre variabili sono $X_1,X_2,X_3$ ma per evitare di portarmi appresso i pedici le ho chiamate $X,Y,Z$ e quindi $T=max(X,Y,Z)$ da cui $W=e^-T$.

Ora ho capito il ragionamento. Grazie tommik, sempre presente!