Trasformazioni lineari

[markowitz]

Dubbio,

se ho una v.a. $x$ distribuita $N(mu,sigma^2)$

e calcolo

$y=a+bx$ ottengo che la v.a $y$ segue, se non erro, una legge $N(a+b*mu, b^2*sigma^2)$

ma se $x$ segue una legge $f(Theta)$ qualsiasi, una volta esplicitate media e varianza in funzione dei parametri
noti o stimati $Theta$. posso sempre dire che

$mu_y=a+b*mu_x$

$var_y=b^2*var_x$

e che la legge distributiva è, parametri a parte, sempre la stessa?
o no?

[DajeForte]

Se $X$ è una v.a. e a,b reali

$E[a+bX]=bE[X]+a$

$Var[a+bX]=b^2Var[X]

Per quanto riguarda la legge distributiva non puoi concludere in generale.
Ad esempio se $X$ è uniforma una trasformazione lineare la lascia uniforme (con parametri diversi);
se invece prendi una esponenziale e le sommi un numero diverso da 0 non hai più una esponenziale.

Dipende tutto da che distribuzione hai perchè in molti casi facendo una trasformazione lineare (più che altro moltiplicazioni) ottieni la stessa variabile
con diversi parametri; ma questo in generale non lo puoi concludere.

[markowitz]

Grazie