Trasformazioni di v. a.
Buongiorno, ho difficoltà con un paio di esercizi relativi ai vettori aleatori. In genere, so operare quando mi si dà la densità di probabilità congiunta e mi si chiedono tutte le varie cose (previsioni, etc.). Qui però non mi viene data e non so che cosa fare.
1) Due numeri reali $X, Y$ sono presi casualmente ed indipendentemente in $[0,1]$. Calcolare la probabilità che $X<=2Y$, sapendo che $X+Y<1$. Soluzione: $1/3$.
2) Due numeri aleatori $X, Y$ sono tali che $Y=kX^2+2$. Determinare gli eventuali valori di $k$ per cui il coefficiente di correlazione è unitario. Soluzione: nessun valore.
Grazie.
1) Due numeri reali $X, Y$ sono presi casualmente ed indipendentemente in $[0,1]$. Calcolare la probabilità che $X<=2Y$, sapendo che $X+Y<1$. Soluzione: $1/3$.
2) Due numeri aleatori $X, Y$ sono tali che $Y=kX^2+2$. Determinare gli eventuali valori di $k$ per cui il coefficiente di correlazione è unitario. Soluzione: nessun valore.
Grazie.
Risposte
Grazie per la risposta. Ho scritto "densità di probabilità congiunta" nel titolo, poiché così riporta il mio eserciziario (Toscano, Zanichelli) all'inizio di questa raccolta di esercizi sui vettori aleatori. Comunque anch'io non riuscivo a capire bene in che modo applicare quello che avevo appena studiato, e per questo avevo chiesto una mano qui. Ora è più chiaro. Riguardo l'esercizio 2), OK: difatti mi è venuto in mente adesso che ho studiato anche la retta di regressione (si parla anche del caso particolare in cui il coefficiente di correlazione al quadrato $rho^2$ è unitario). Riguardo l'esercizio 1), ero arrivato a capire che il nocciolo del problema era solo legato al calcolo della probabilità condizionata, ma non ero riuscito a capire come calcolare la probabilità dell'intersezione (al numeratore) e quella del condizionante (al denominatore).
Numeratore: $P(X<=2Y,X+Y<1)=P(Y>=X/2,Y<1-X)$
Come faccio a dedurre $P(X<2/3)$? Cioè, mi viene in mente che, anche se $X<2/3$, poi se $Y$ è tale che si vada ad uscire dall'area rossa, forse non va più bene...
Denominatore: $P(X+Y<1)$
La distribuzione triangolare non ce l'hanno proprio spiegata!
Ora che l'ho letta da Wikipedia (non c'è sul libro), l'ho capita: prese le v. a. indipendenti $X, Y$, entrambe con distribuzione uniforme in $[0,1]$, allora avrò una distribuzione triangolare di quel tipo lì. Insomma devo imparare a memoria questo caso particolare (e quelli similari, là sotto). Ho verificato effettivamente, con la funzione di ripartizione, che si ottiene $1/2$.
Numeratore: $P(X<=2Y,X+Y<1)=P(Y>=X/2,Y<1-X)$
Come faccio a dedurre $P(X<2/3)$? Cioè, mi viene in mente che, anche se $X<2/3$, poi se $Y$ è tale che si vada ad uscire dall'area rossa, forse non va più bene...
Denominatore: $P(X+Y<1)$
La distribuzione triangolare non ce l'hanno proprio spiegata!
Ora che l'ho letta da Wikipedia (non c'è sul libro), l'ho capita: prese le v. a. indipendenti $X, Y$, entrambe con distribuzione uniforme in $[0,1]$, allora avrò una distribuzione triangolare di quel tipo lì. Insomma devo imparare a memoria questo caso particolare (e quelli similari, là sotto). Ho verificato effettivamente, con la funzione di ripartizione, che si ottiene $1/2$.
Manco la convoluzione ci hanno spiegato, ed infatti non ci stavo capendo molto... L'ho letta ora sul libro, ma non è che ho capito bene a cosa serva (specie qui)... Non è che puoi darmi un'idea? Il resto è OK...
Grazie! 
@Sergio, scusa. Purtroppo, mi accorgo ora che, l'esercizio 1), l'ho riportato sbagliato, pasticciando con la tastiera. Era questo:
Due numeri reali $X,Y$ sono presi casualmente ed indipendentemente in $[0,1]$. Calcolare la probabilità che $X>=2Y$ (maggiore o uguale!), sapendo che $X+Y<1$. Soluzione: $1/3$.
$P(X>=2/3)=1/3, P(X+Y<1)=1/2 rarr P(X>=2/3 nn X+Y<1)=1/3*1/2=1/6$
$P(X+Y<1)=1/2$
Soluzione: $1/3$. Che dici? Grazie.
Due numeri reali $X,Y$ sono presi casualmente ed indipendentemente in $[0,1]$. Calcolare la probabilità che $X>=2Y$ (maggiore o uguale!), sapendo che $X+Y<1$. Soluzione: $1/3$.
$P(X>=2/3)=1/3, P(X+Y<1)=1/2 rarr P(X>=2/3 nn X+Y<1)=1/3*1/2=1/6$
$P(X+Y<1)=1/2$
Soluzione: $1/3$. Che dici? Grazie.
Sì, quella l'ho ottenuta in un modo analogo a quello che mi avevi mostrato per $X<=2/3$, per cui non l'ho riportato. OK, grazie.
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