Trasformazioni aleatorie

[pasquale2016]

Mi aiutate con questo esercizio sulle trasformazioni di variabili aleatorie? XD

Sia $X$ una variabile aleatoria di tipo Rayleigh di parametro $sigma^2$.
Determinare la pdf di $Y=-X^2$ e calcolarne media e varianza

La CDF è data da:
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(-X^2<=y)$

Come proseguo? Devo risolvere $[(-x^2)<=y]$ ?

Grazie

[pasquale2016]

... Intendo svolgendo tutti i calcoli e non utilizzando la "formula nota".

[Lo_zio_Tom]

Non è che ci siano molti conti in più da fare rispetto alla formula

$ F_(Y) (y)=P(-X^2<=y)=P(X^2> -y)=P(X> sqrt(-y))=1-F_(X)(sqrt (-y))=e^(y/(2sigma^2) $

Poi per calcolare la densità la derivi. ..

Prova a riscattarti va: media e varianza si trovano senza fare conti ma semplicemente osservando una particolare simmetria

[pasquale2016]

Dovrebbero essere la media e la varianza di una Rayleigh cambiata di segno no?

[Lo_zio_Tom]

"pasquale2016":Dovrebbero essere la media e la varianza di una Rayleigh cambiata di segno no?

no....devi vedere una simmetria con una esponenziale


la tua variabile è del tipo $f(y)=thetae^(thetay)$ con $y<=0$

se cambi variabile e fai $z=-y$

ottieni che

$f(z)=theta e^(-thetaz)$ con $z>=0$

di media $E(z)=1/theta$ e varianza $V(z)=1/theta^2$

ora, dato che $E(-z)=-E(z)$ e $V(-z)=V(z)$ conoscendo i parametri di una esponenziale hai risolto. La tua variabile avrà

$E(Y)=-2sigma^2$

$V(Y)=4sigma^4$

senza fare alcun integrale. (prova comunque a risolvere i due integrali e vedrai se non ho ragione)