Trasformazioni aleatorie
Mi aiutate con questo problema? 
Caratterizzare la v.a. $Z=X+Y$ quando $X$ ed $Y$ sono due v.a. discrete indipendenti che assumono i valori $+-1$ con uguale probabilità.
Io ho ragionato osservando che sia $X$ che $Y$ sono v.a. binomiali con probabilità di successo ($p$) e di insuccesso ($q$) date da $p=q=1/2$. Poichè le v.a. sono discrete, devo calcolare la funzione masse di probabilità che per definizione è:
$p_Z(z)=P({Z in g^(-1)({z})})$
dove $g^(-1)({z})$ è la soluzione dell'equazione $z=g(x,y)=x+y$
Come proseguo?
Caratterizzare la v.a. $Z=X+Y$ quando $X$ ed $Y$ sono due v.a. discrete indipendenti che assumono i valori $+-1$ con uguale probabilità.
Io ho ragionato osservando che sia $X$ che $Y$ sono v.a. binomiali con probabilità di successo ($p$) e di insuccesso ($q$) date da $p=q=1/2$. Poichè le v.a. sono discrete, devo calcolare la funzione masse di probabilità che per definizione è:
$p_Z(z)=P({Z in g^(-1)({z})})$
dove $g^(-1)({z})$ è la soluzione dell'equazione $z=g(x,y)=x+y$
Come proseguo?
Risposte
lo risolvi anche a mente. Si vede subito che il dominio di $X+Y$ è formato dai seguenti valori
${-2;0;2)$ le cui probabilità sono ${1/4;1/2;1/4}$, rispettivamente.
Analiticamente puoi fare così:
siano $ X_(1) $ e $ X_(2) $ le due variabili dicotomiche.
Standardizzi la variabile trasformandola in $ (X+1 )/2$ e noti che così trasformata la variabile è diventata una bernoulliana di parametro $1/2$.
Sapendo che la somma di bernoulliane indipendenti si distribuisce come una binomiale hai finito.
Il supporto della somma sarà
$ Z=sum_(i=1)^(2)[X_(i)+1]/2$ da cui
$Sigma X=2Z-2$ ; $ Z=0; 1; 2$ e le probabilità di ogni valore sono quelle di una $ B (2; 1/2) $
a questo punto puoi caratterizzare anche la somma generica $sum_(i=1)^(n)x_(i)$ ottenendo sempre una binomiale ma con il supporto modificato come ti ho mostrato prima.
es: calcolare la funzione di massa di probabilità della variabile $sum_(i=1)^(n)X_(i)$
dove $X_(i)$ sono le variabili iid $X_(i)-={{: ( -1 , 1 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
il supporto sarà $SigmaX=2Z-n$, con $Z=0,1,2,...,n$ e le probabilità quelle di una binomiale $B(n;1/2)$.
in pratica questa:
$p(SigmaX)= ((n),(k))(1/2)^n$; $SigmaX=2k-n$; $k=0,1,...,n$
spero di essermi spiegato....
ciao
${-2;0;2)$ le cui probabilità sono ${1/4;1/2;1/4}$, rispettivamente.
Analiticamente puoi fare così:
siano $ X_(1) $ e $ X_(2) $ le due variabili dicotomiche.
Standardizzi la variabile trasformandola in $ (X+1 )/2$ e noti che così trasformata la variabile è diventata una bernoulliana di parametro $1/2$.
Sapendo che la somma di bernoulliane indipendenti si distribuisce come una binomiale hai finito.
Il supporto della somma sarà
$ Z=sum_(i=1)^(2)[X_(i)+1]/2$ da cui
$Sigma X=2Z-2$ ; $ Z=0; 1; 2$ e le probabilità di ogni valore sono quelle di una $ B (2; 1/2) $
a questo punto puoi caratterizzare anche la somma generica $sum_(i=1)^(n)x_(i)$ ottenendo sempre una binomiale ma con il supporto modificato come ti ho mostrato prima.
es: calcolare la funzione di massa di probabilità della variabile $sum_(i=1)^(n)X_(i)$
dove $X_(i)$ sono le variabili iid $X_(i)-={{: ( -1 , 1 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
il supporto sarà $SigmaX=2Z-n$, con $Z=0,1,2,...,n$ e le probabilità quelle di una binomiale $B(n;1/2)$.
in pratica questa:
$p(SigmaX)= ((n),(k))(1/2)^n$; $SigmaX=2k-n$; $k=0,1,...,n$
spero di essermi spiegato....
ciao
Devo risolverlo analiticamente e questo mi crea "confusione". Mi potresti spiegare come fare a proseguire quanto iniziato sopra? 
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