Trasformazione v.a. gaussiana

[pasquale2016]

Aiuto per il seguente esercizio??

Calcolare la pdf della v.a.
$Z=Asign(X)+X$
dove $X ~ N(0, 1)$ e $sign(*)$ è la funzione segno.

Ho ragionato nel seguente modo:
$Z=X+Asign(X)=X+Y$
e quindi dovrebbe essere
$f_Z(z)=f_X(x)+f_Y(y)$
dove la $f_X(x)$ è nota perchè $X$ è una v.a. gaussiana standard mentre la $f_Y(y)$ è da calcolare.
Come faccio?

[pasquale2016]

$A$ è una costante

$sign(x)={(1,if x>0),(-1,if x<0):}$

[Lo_zio_Tom]

$A in R^+$ ??

mi sembra davvero molto semplice

se consideri che, partendo da una normale $N(mu;sigma^2)$, la trasformazione $Y=X+a$ restituisce di nuovo la stessa normale con media $(mu+a)$...e questo lo puoi verificare con la solita formuletta di trasformazione, la tua z sarà la seguente:



$Z-={{: ( N(A;1) , ;x>0 ),( N(-A;1) ,;x<0 ) :}$

[pasquale2016]

Come calcolo la pdf di $Y=A*sign(X)$?

PS. Il valore di $A$ non è specificato ma credo sia sottinteso che sia un valore positivo.

[Lo_zio_Tom]

non hai capito


$Z-={{: ( x+a , ;x>0 ),( x-a , ;x<0 ) :}$


quindi devi calcolare la trasformazione $x+-a$ che è sempre normale, cambia solo la media.


Prova a calcolare la seguente trasformazione $X~N(mu;sigma^2)$ calcola la PDF di $Y=X-mu$ otterrai una $Y~N(0;sigma^2)$

qui è la stessa cosa

[pasquale2016]

Ok quindi il ragionamento di partenza era completamente errato
Se ho capito bene, allora, si tratta di una $"trasformazione" LS(a,b)=(0,+-A)$
(LS=location-scale)
In questo modo risulta
$f_Z(z)=f_X(x+-A)$
???

[pasquale2016]

Quindi

$f_Z(z)=f_X(x+-A)=$

$={(f_X(x-A),if x<0),(f_X(x), if x=0), (f_X(x+A), if x>0):}=$

$={(1/(sqrt(2pi))[e^(-(x-A)^(2)/2)], if x<0), (1/(sqrt(2pi))[e^(-x^(2)/2)], if x=0), (1/(sqrt(2pi))[e^(-(x+A)^(2)/2)], if x>0):}$


E' corretto??

[Lo_zio_Tom]

No. La tua PDF è la seguente: $a in R^+$

[size=150]$f_(Z)(z)-={{: ( 1/sqrt(2pi)e^(-1/2(z+a)^2) , ;z<-a ),( 1/sqrt(2pi)e^(-1/2(z-a)^2) , ;z>a) :}$[/size]

la riprova che sia giusta è la seguente:


$I_(1)=int_(-oo)^(-a) 1/sqrt(2pi)e^(-1/2(z-(-a))^2)dz=1/2$

$I_(2)=int_(a)^(+oo) 1/sqrt(2pi)e^(-1/2(z-a)^2)dz=1/2$

$I_(1)+I_(2)=1$

tutto ok!

la stessa cosa la puoi vedere facendo il grafico della funzione di trasformazione:



come puoi notare, l'immagine della funzione è $(-oo;-A) uu (A;+oo)$

[pasquale2016]

Molto piu chiaro dopo aver visto l'immagine. Un'ultima cosa in riferimento a questo esercizio: se avessi avuto solo $Y=sign(X)$, sarebbe stato:
$f_Y(y)={(f_X(x),if X>0),(-f_X(x),if x<0):}$
??

[Lo_zio_Tom]

No. Verrebbe così:


$Y-={{: ( -1 , 1 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$




In questo caso il problema è banale e per risolverlo basta osservare il grafico della funzione di trasformazione



come vedi l'immagine della funzione (supporto di $Y$) è costituito solo dai punti $-1;1$. Tale punti concentrano la massa di probabilità che la variabile $X$ concentra negli intervalli $(-oo;0)$ e $(0;+oo)$, rispettivamente, ovvero $1/2$ per entrambi gli intervalli, dato che $X~N(0;1)$