Trasformazione v.a.
Salve, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio
Come tommik ci ha insegnato, calcoliamo la cdf e poi deriviamo.
$F(y)=P(Y<=y)=P(X^2<=y)=P(-sqrt(y)<=X<=sqrt(y))$ ma il dominio di $x$ è $[0,+infty)$
$=P(0<=X<=sqrt(y))=I_{[0,+infty)}(y) * \int_{0}^{sqrt(y)} ze^(-1/2z^2) dz$
$=[-e^(-1/2z^2)]_{0}^{sqrt(y)}*I_{[0,+infty)}(x)=(1-e^(-1/2y))*I_{[0,+infty)}(y)$.
Nei punti di continuità esiste la derivata di $F$ allora $F'=f$. Deriviamo.
$F'(y)=f(y)=1/2e^(-1/2y)*I_{[0,+infty)}(y)$
Non sono sicuro se il procedimento sia corretto oppure ho fatto qualche errore,
se poteste aiutarmi ne sarei molto grato, grazie!
Sia X una variabile casuale con densità $f(x)=xe^(-1/2x^2)*I_{[0,+infty)}(x)$.
Trovare la densità di $Y=X^2$.
Come tommik ci ha insegnato, calcoliamo la cdf e poi deriviamo.
$F(y)=P(Y<=y)=P(X^2<=y)=P(-sqrt(y)<=X<=sqrt(y))$ ma il dominio di $x$ è $[0,+infty)$
$=P(0<=X<=sqrt(y))=I_{[0,+infty)}(y) * \int_{0}^{sqrt(y)} ze^(-1/2z^2) dz$
$=[-e^(-1/2z^2)]_{0}^{sqrt(y)}*I_{[0,+infty)}(x)=(1-e^(-1/2y))*I_{[0,+infty)}(y)$.
Nei punti di continuità esiste la derivata di $F$ allora $F'=f$. Deriviamo.
$F'(y)=f(y)=1/2e^(-1/2y)*I_{[0,+infty)}(y)$
Non sono sicuro se il procedimento sia corretto oppure ho fatto qualche errore,
se poteste aiutarmi ne sarei molto grato, grazie!
Risposte
beh questa è proprio facile. Procedimento perfetto!
In realtà, avendo una trasformazione monotona, bastava anche la semplice formula per calcolare direttamente la densità
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
$f_(Y)(y)=sqrt(y)e^(-y/2)1/(2sqrt(y))=1/2e^(-y/2)$
$0<=y
osserva che hai ottenuto una $Exp(1/2)$, ovvero una $chi_((2))^2$ (una Chi Quadro con 2 gradi di libertà)
In realtà, avendo una trasformazione monotona, bastava anche la semplice formula per calcolare direttamente la densità
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
$f_(Y)(y)=sqrt(y)e^(-y/2)1/(2sqrt(y))=1/2e^(-y/2)$
$0<=y
osserva che hai ottenuto una $Exp(1/2)$, ovvero una $chi_((2))^2$ (una Chi Quadro con 2 gradi di libertà)
Fiuu per una volta è andato tutto bene, grazie 
Si mi ero accorto di una somiglianza con l'esponenziale!
Wow non conoscevo quella formula, così è molto più veloce!
Ma con $g^(-1)(y)$ praticamente si intende $Y=X^2 rarr g^(-1)(y)=X=sqrt(Y)$ ?
Inoltre, con trasformazione monotona intendi il fatto che la densità iniziale è nella sola variabile $x$ oppure che (di conseguenza) ad essere trasformata è quella sola variabile $x$ ?
Si mi ero accorto di una somiglianza con l'esponenziale!
Wow non conoscevo quella formula, così è molto più veloce!
Ma con $g^(-1)(y)$ praticamente si intende $Y=X^2 rarr g^(-1)(y)=X=sqrt(Y)$ ?
Inoltre, con trasformazione monotona intendi il fatto che la densità iniziale è nella sola variabile $x$ oppure che (di conseguenza) ad essere trasformata è quella sola variabile $x$ ?
intendo che
$y=g(X)=x^2$ è monotona nell'intervallo $[0;oo)$
e quindi $g^(-1)=sqrt(y)$
Questa formula deriva direttamente dal procedimento che hai fatto tu, generalizzato....ora ti mostro come
supponiamo di avere una funzione di trasformazione $g(X)$ crescente
allora (basta fare un grafico per rendersene conto)
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=g^(-1)(y))$ in altri termini abbiamo che
$F_(Y)(y)=F_(X)(g^(-1)(y))$
e quindi derivando otteniamo (ricordati che la F è una funzione integrale)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
Se invece la funzione di trasformazione $Y=g(X)$ è monotona decrescente allora (sempre guardando il grafico della g)
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=1-P(X<=g^(-1)(y))=1-F_(X)(g^(-1)(y))$
derivando:
$f_(y)(y)=-f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)(y)$
ma, dato che in questo caso la derivata è $<0$ (funzione decrescente) il risultato è analogo al precedente.
Quindi in definitiva, se la funzione di trasformazione è monotona (non importa se crescente o decrescente) ottieni
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$.
Inoltre, si può estendere la formula anche a funzioni di trasormazioni non monotone semplicemnte spezzettando la funzione di trasformazione in più intervalli dove essa risutla monotona, trovando la seguente:
$f_(Y)(y)=sum_(i)f_(X)(g_(i)^(-1)(y))|d/(dy)g_(i)^(-1)(y)|$
Senza voler farne una dimostrazione ma noti subito una certa somiglianza con la funzione che usi tu di solito per il caso multivariato....al posto della derivata in valore assoluto ci metti il $|det(J)|$....ma il concetto è quello.
Ps: se vuoi provare a fare l'esempio che ti ho proposto $Y=X^2-X$ (io non ho fatto ancora i conti) ti suggerisco però di usare il metodo che hai usato tu....qui la funzione è un po' carogna.....occorre suddividere l'immagine (ovvero il supporto della y) in due parti....una che va da $[-1/4;0)$ e l'altra da $[0;oo)$
$y=g(X)=x^2$ è monotona nell'intervallo $[0;oo)$
e quindi $g^(-1)=sqrt(y)$
Questa formula deriva direttamente dal procedimento che hai fatto tu, generalizzato....ora ti mostro come
supponiamo di avere una funzione di trasformazione $g(X)$ crescente
allora (basta fare un grafico per rendersene conto)
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=g^(-1)(y))$ in altri termini abbiamo che
$F_(Y)(y)=F_(X)(g^(-1)(y))$
e quindi derivando otteniamo (ricordati che la F è una funzione integrale)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
Se invece la funzione di trasformazione $Y=g(X)$ è monotona decrescente allora (sempre guardando il grafico della g)
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=1-P(X<=g^(-1)(y))=1-F_(X)(g^(-1)(y))$
derivando:
$f_(y)(y)=-f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)(y)$
ma, dato che in questo caso la derivata è $<0$ (funzione decrescente) il risultato è analogo al precedente.
Quindi in definitiva, se la funzione di trasformazione è monotona (non importa se crescente o decrescente) ottieni
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$.
Inoltre, si può estendere la formula anche a funzioni di trasormazioni non monotone semplicemnte spezzettando la funzione di trasformazione in più intervalli dove essa risutla monotona, trovando la seguente:
$f_(Y)(y)=sum_(i)f_(X)(g_(i)^(-1)(y))|d/(dy)g_(i)^(-1)(y)|$
Senza voler farne una dimostrazione ma noti subito una certa somiglianza con la funzione che usi tu di solito per il caso multivariato....al posto della derivata in valore assoluto ci metti il $|det(J)|$....ma il concetto è quello.
Ps: se vuoi provare a fare l'esempio che ti ho proposto $Y=X^2-X$ (io non ho fatto ancora i conti) ti suggerisco però di usare il metodo che hai usato tu....qui la funzione è un po' carogna.....occorre suddividere l'immagine (ovvero il supporto della y) in due parti....una che va da $[-1/4;0)$ e l'altra da $[0;oo)$
Geniale! Veramente bella dimostrazione grazie!! Se mi capita all'esame gli mostro quanto mi hai insegnato 
E' vero, è simile alla formula del cambio variabile nel caso di più variabili.
Ma secondo te allora è sbagliata la soluzione del libro dato che è questa:
E' vero, è simile alla formula del cambio variabile nel caso di più variabili.
Ma secondo te allora è sbagliata la soluzione del libro dato che è questa:
Il procedimento è giusto ma si è dimenticato $1/2$ all'esponente.
Quella indicata dal libro non è una densità. Basta fare
$int_(0)^(oo)1/2e^-ydy=-1/2e^(-y)]_(0)^(oo)=-1/2(0-1)=1/2$
Ps: la dimostrazione l'ho buttata giù così, senza appunti...spero di non aver dimenticato nulla....ma mi pare tutto ok
Inoltre ci tengo a sottolineare che l'esponenziale di parametro $1/2$ coincide con la ChiQuadro con 2 gradi di libertà....questo è importante
Quella indicata dal libro non è una densità. Basta fare
$int_(0)^(oo)1/2e^-ydy=-1/2e^(-y)]_(0)^(oo)=-1/2(0-1)=1/2$
Ps: la dimostrazione l'ho buttata giù così, senza appunti...spero di non aver dimenticato nulla....ma mi pare tutto ok
Inoltre ci tengo a sottolineare che l'esponenziale di parametro $1/2$ coincide con la ChiQuadro con 2 gradi di libertà....questo è importante
Si la dimostrazione scorre bene, sembra corretta!
Ah è vero non avevo pensato a verificare se il suo integrale risultava 1 o meno, e in effetti è diverso da 1, grazie ancora!
Come mai ci tieni a sottolinearlo ?
Ah è vero non avevo pensato a verificare se il suo integrale risultava 1 o meno, e in effetti è diverso da 1, grazie ancora!
Come mai ci tieni a sottolinearlo ?
Ah be si, nel mio esame di probabilità non c'è inferenza, però terrò conto delle tue parole.
Quella che hai scritto $Y=X^2−X$ è difficile da risolvere? Altrimenti potrei provare
Quella che hai scritto $Y=X^2−X$ è difficile da risolvere? Altrimenti potrei provare
no difficile no....serve un po' di attenzione.
Ad ogni modo ecco come fare
Ad ogni modo ecco come fare
Grazie mille dopo cena provo a farlo e poi ti dico!
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