Trasformazione matrice stocastica

[irizar1]

Buongiorno, provo a ripostare qui poiché non so se la sezione in cui ho precedentemente inserito il post sia quella corretta.
Ho il seguente problema relativo a una matrice di Markov.
Sia $W$ una matrice $N$ x $N$ tale che $\sum_{j}w_{ij}=1$ dove $w_{ij}$ è il generico elemento della matrice. Inoltre si hanno altre due matrici $N$ x $N$:
A= $ ( (1-\alpha_{1}, 1-\alpha_{1}, ..., 1-\alpha_{1}),( 1-\alpha_{2}, 1-\alpha_{2}, ..., 1-\alpha_{2}),( ..., ..., ..., ...),( 1-\alpha_{N}, 1-\alpha_{N}, ..., 1-\alpha_{N}) ) $
e B= $ ( ( \alpha_{1} , \alpha_{2}, ..., \alpha_{N}),( \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{N}),( ..., ..., ..., ... ),( \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{N}) ) $ con $0<\alpha_{i}<1$ per ogni $i$. Dovrei mostrare che la matrice $C=B\circ(I-A\circ W)^{-1}$ (dove $\circ$ denota il prodotto di Hadamard elemento per elemento) è ancora una matrice stocastica (di Markov).
Io ho provato a procedere in questo modo:
ho usato l'espansione in serie dell'inversa per scrivere $(I-A\circ W)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(A\circ W)^{K}$ e noto che $B=I-A^{T}$. Se questo è corretto posso scrivere $C=(I-A^{T})\circ \sum_{k=0}^{\infty}(A\circ W)^{K}$
Ma qui sono bloccato e non saprei come procedere. Se qualcuno avesse qualche idea su come procedere gliene sarei grato.
Grazie mille a tutti

[fu^2]

Se $I$ è la matrice identità, quindi $I_{i, j}=\delta_{ij}$, non mi sembra vero che $I-A^T=B$,sbaglio?

Come strategia proverei a scrivere un po' più esplicitamente il prodotto $(A\circ W) $a vedere se si ottiene qualcosa di un po' trattabile.