Trasformazione di variabile aleatorie e CDF

[gabriele812]

salve a tutti, oggi mi sono domandato a cosa potesse corrispondere la seguente probabilità condizionata:
sia data una random variabile $e$ e siano date due sue trasformazioni non lineari necessariamente che sono $g(e)$ e $z(e)$ possediamo la density function che è $f(g(e),z(e))$ e di questa vogliamo calcolare la conditional density function rispetto ad $e$.
Avremo dunque $f(g(e),z(e)|e)=f(g(e),z(e))/f(e)$
Vi domando dunque
1) il valore di $f(g(e),z(e)|e)$ è una costante?
ovverosia $f(g(e),z(e)|e)$ non dovrebbe equivalere ad un unico punto della density function $f(g(e),z(e))$ visto che la conoscenza di e corrisponde alla contemporanea conoscenza di $g$ e $z$?

Tuttvia arrivo ad un paradosso apparente perchè...

2) $f(g(e),z(e)|e)$ non dovrebbe essere una delta di Dirac?
altrimenti non sommerebbe ad 1 il suo integrale

MA la Delta di Dirac non ha valore infinito in quel punto? allora non è costante? BHO?!?!? Che ne pensate?Illuminatemi

[gabriele812]

Vorrei riproporvi la domanda in modo diverso.
Vi trovate con me che:
$ f(y(e),g(e))=f(y(e),g(e)|e)f(e) $
il secondo passaggio sarebbe
$ f(y(e),g(e)|e)=f(y(e),g(e)|y(e),g(e)) $
ovvero
$ f(y(e),g(e)|e)=f(y(e),g(e))/f(y(e),g(e))=1 $
e quindi
$ f(y(e),g(e))=f(e) $
Il problema è che
$ int_(-oo)^(oo) f(y(e),g(e)|e) de= int_(-oo)^(oo) 1 de=oo $
quindi c'è qualcosa che non va.
Quindi vi chiedo a cosa corrisponde?
$ f(y(e),g(e)|e)$
Retrocomputer, Sergio che ne dite? mi piacerebbe conoscere il vostro parere

[retrocomputer]

Io non ci ho capito molto e quel poco che ho capito mi sembra sbagliato, quindi non contare su di me

Come definisci la "conditional density function rispetto a una variabile aleatoria"?

[gabriele812]

Ciao Retrocomputer, anche sapere di sbagliare è già un passo avanti.
Vediamo...
Sia data la variabile aleatoria continua x
Sia definisce la cumulative distribution function condizionata all'evento
$F(x|B)=F(X(§)=x|B)=(P(X(§)=x nn B))/(P(B))$
definiamo l'evento B nel modo seguente
$B=(y1 quindi
$F(x|y1 quindi possiamo scrivere
$F(x|y1 poniamo ora $y1=y$ ed $y2=y+dy$
$F(x|y da cui calcolandci il limite per dy che tende a zero otteniamo
$F(x|Y=y)=(int _(-oo)^(x) f(u,y) du)/(f(y))$
ora deriviamo per x ed il gioco è fatto
$f(x|Y=y)=( f(x,y) )/(f(y))$
qundi ritornando al caso in questione saltando i passaggi intermedi perveniamo a questo risultato
riconsideriamo dunque le variabili aleaotrie da me introdotte inizialemente ovvero g ed y
abbiamo che
$F(y,g|E=e)=(int _(-oo)^(y) int _(-oo)^(g) f(u,v,e) du dv)/(f(e))$
ora si noti che se x ed y sono iniettive rispetto ad E allora conoscere e significa conoscere sia x che y e dunque
definisco il valore di x in corrispondenza dell'outcame e
$G(E=e)=g e$
ciò significa che
$P(G(E=e)<=g) = { ( 1 ) if g >= g e,( 0 ) if g< g e } $
in modo analogo avremo che
definiendo il valore di y in corrispondenza dell'outcame e
$Y(E=e)=ye$
avremo
$P(Y(E=e)<=y) = { ( 1 ) if y >=ye,( 0 ) if y< ye } $
quindi anche
$P(G(E=e)<=g,Y(E=e)<=y|E=e) = { ( 1 ) if g >= g e ^^ y >=ye ,( 0 ) otherwise } $
e dunque per la legge delle probabilità totali abbiamo che per $g >=g e ^^ y >=ye$
$(int _(-oo)^(y) int _(-oo)^(g) f(u,v,e) du dv)/(f(e))={ (f(e)/f(e)=1 ) if g >=g e ^^ y >=ye ,( 0 ) otherwise }$
ovvero che
$F(y,g|E=e)={ (f(e)/f(e)=1 ) if g >=g e ^^ y >=ye ,( 0 ) otherwise } $
quindi potremmo utilizzare la delta di dirac e riscrivere
$(int _(-oo)^(y) int _(-oo)^(g) f(u,v,e) du dv)/(f(e))=(int _(-oo)^(y) int _(-oo)^(g) dirac( root()((u - g e)^2 +(v-ye)^2) ) du dv)$
deriviamo per g ed y otteniamo che
$f(y,g|E=e)= dirac( root()((g - g e)^2 +(y-ye)^2) )$
se po al posto di $y$ e $g$ introduciamo le funzioni $y(e)$ e $g(e)$ otteniamo
$f(y(e),g(e)|E=e)= dirac( 0 )$
ti trovi?