Trasformazione di Variabile Aleatoria Gaussiana
Buonasera ragazzi, sto preparando un esame di Teoria dei Segnali che coinvolge, ovviamente, le variabili aleatorie. Mi viene posto il seguente esercizio tratto da un testo d'esame.
"Si consideri una variabile aleatoria X Gaussiana a media pari a 0 e deviazione standard 6. Essa viene trasformata nella variabile aleatoria Y secondo la legge riportata in figura dove A=10. "
Sotto spoiler il grafico.
1. La probabilità che X assuma un valore minore o uguale a 1;
2. Calcolare la fY(y)
3. Calcolare la FY(y)
4. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore maggiore o uguale a 1
5. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore minore o uguale a 6
Il punto 1 è facilmente risolvibile. I punti 2 e 3 coinvolgono la trasformazione delle v.a., un argomento che mi sta risultando parecchio ostico. Vorrei,se possibile,una linea guida sulla trasformazione delle v.a.
"Si consideri una variabile aleatoria X Gaussiana a media pari a 0 e deviazione standard 6. Essa viene trasformata nella variabile aleatoria Y secondo la legge riportata in figura dove A=10. "
Sotto spoiler il grafico.
1. La probabilità che X assuma un valore minore o uguale a 1;
2. Calcolare la fY(y)
3. Calcolare la FY(y)
4. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore maggiore o uguale a 1
5. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore minore o uguale a 6
Il punto 1 è facilmente risolvibile. I punti 2 e 3 coinvolgono la trasformazione delle v.a., un argomento che mi sta risultando parecchio ostico. Vorrei,se possibile,una linea guida sulla trasformazione delle v.a.
Risposte
Ciao arnett, che intendi per probabilità totali?
Intanto, ti ringrazio per la tempestiva risposta.
Intanto, ti ringrazio per la tempestiva risposta.
Se vuoi,posso linkare l'immagine contenente la soluzione per un confronto. Al momento, per me, è come aver scoperto il mondo per la prima volta. Qual è uno dei tanti nomi di questa relazione?
Domani lo guardo io...però vi do subito una facile dritta: negli intervalli dove la funzione di trasformazione è orizzontale avrete una y discreta che concentra tutta la massa di probabilità della normale iniziale. Nel resto dell'intervallo è una trasformazione lineare
@arnett così dovresti terminare senza problemi
@mr engineer non linkare nulla. Sul forum ci sono centinaia di esercizi del tutto simili tutti completamente svolti e commentati (alcune centinaia da me)
@arnett così dovresti terminare senza problemi
@mr engineer non linkare nulla. Sul forum ci sono centinaia di esercizi del tutto simili tutti completamente svolti e commentati (alcune centinaia da me)
Questa la soluzione proposta:
@tommik: dove posso trovare gli esercizi di cui parli??
@tommik: dove posso trovare gli esercizi di cui parli??
Come non detto...
"tommik":
Come non detto...
Avevo caricato il tutto prima di aver visto la tua risposta
E' da qualche giorno che svolgo esercizi più semplici che riesco a trovare in rete. Oggi ho avuto la "malsana" idea di visionare un compito d'esame.Intanto ringrazio entrambi per le dritte fornitemi!
attenzione: mi esercito con variabili casuali in senso lato. Gaussiane, uniformi e così via. La trasformazione sta risultando essere piuttosto problematica, al momento.
Ora che lo guardo bene non è solo facile: è pressoché immediato e si risolve senza alcun conto. Dove la funzione di trasformazione è orizzontale la Y, come detto, sarà costante e varrà 0, -10 e 10 con determinate probabilità da leggere sulle tavole. Nell'intervallo centrale la trasformazione è $Y=2X$ quindi ne risulta sempre una normale centrata, cambia solo la varianza che risulterà moltiplicata per 4.
In altri termini la Y avrà punti con Massa positiva di probabilità in $Y=+-10$ e $ Y=0$ mentre in $y in (-10;10)$ sarà ancora gaussiana.
Ne risulta una densità mista, non assolutamente continua. Per la CDF sonmi/ integri
@arnett: sabato vado in vacanza.... conto su di te
In altri termini la Y avrà punti con Massa positiva di probabilità in $Y=+-10$ e $ Y=0$ mentre in $y in (-10;10)$ sarà ancora gaussiana.
Ne risulta una densità mista, non assolutamente continua. Per la CDF sonmi/ integri
@arnett: sabato vado in vacanza.... conto su di te
"MrEngineer":
@tommik: dove posso trovare gli esercizi di cui parli??
questo soltanto digitando trasformazione variabile nella barra di ricerca
Ovviamente non è l'unica chiave di ricerca, puoi mettere trasformazioni, funzione aleatoria, ecc ecc; gli esercizi che ho risolto io (e quindi sui quali garantisco avendoli ricontrollati più volte) partono da metà 2015
Poi si possono fare ricerche più fini, anche scartabellando manualmente le pagine del forum.
Alcuni particolarmente interessanti li ho catalogati con ***interessante*** nel titolo, come anche questo ma poi mi sono stufato.
insomma...in oltre 3 anni di assidua presenza sul forum ne avrò raccolti svariate centinaia, tutti tratti da temi d'esame ed esercitazioni da molte Università italiane, tipicamente CDL di ingegneria ma anche Matematica, Economia ecc ecc
Poi avrai tutta la parte di trasformazione di vettori aleatori.....e così via
Ormai il forum ha raccolto una quantità di informazioni enorme, fruibili gratuitamente per chiunque ne avesse bisogno.
Per ogni dubbio o delucidazione....siamo sempre qui
buona lettura
Grazie mille! 
There's no rush!....ora vediamo come ammazzare il tuo esercizietto in 3 mosse
Tra l'altro
vedo ora che ti sei dimenticato di includere i tratti in cui $y=0$
Quindi scrivo la soluzione completa sperando di chiarire il problema a tutti.
1) come ti ho detto, tutti i tratti orizzontali della funzione di trasformazione implicano una $Y$ costante, ma la X distribuisce una certa massa di probabilità nel suddetto intervallo $rarr$ qui la variabile Y è DISCRETA
Quindi
$P(|X|>10)=P(|Z|>10/6)=0.096~~10%$....e qui la $Y=0$
2) analogamente
$P(-10
3) Per l'intervallo restante, essendo $Y=2X$ ovvero $x=y/2$
trasformi la gaussiana $f(x)$ sostituendo il valore di $x=y/2$ avendo cura di moltiplicare per la derivata della funzione di trasformazione (è un cambiamento di variabile) trovando subito
$f_Y(y)=1/(12sqrt(2pi))e^(-y^2/288)$
che appunto è ancora gaussiana di media zero e varianza 144
Plottando il grafico viene così:
puoi controllare che la somma delle probabilità (discrete e continue fa 1)
$0.1545xx2+0.096+0.595=1$
Per la CDF devi sommare tutte le probabilità....
Dovrai ovviamente spezzettarla in parecchie parti eh
1) prima di -10 vale zero
2) in $-10$ vale circa 0.155
3) in $(-10;0)$ vale $0.155$ più la $Phi_((0;144))(y)-Phi_((0;144))(-10)=-0.047+Phi_((0;144))(y)$
4) in zero vale $0.155+Phi_((0;144))(0)-Phi_((0;144))(-10)+0.1~~0.55$
ecc ecc....fino ad arrivare a 1
Come vedi, esercizio risolto immediatamente e senza spargere sangue ovunque
spero sia chiaro
Tra l'altro
"arnett":
Ciao, dunque inizierei trovando una espressione analitica esplicita per $Y=g(X)$. Dovrebbe risultare $g(x)={(-10,if x\le -5),(2x,if x\in(-5, 5)), (10, if x\ge 5):}$.
.
vedo ora che ti sei dimenticato di includere i tratti in cui $y=0$
Quindi scrivo la soluzione completa sperando di chiarire il problema a tutti.
1) come ti ho detto, tutti i tratti orizzontali della funzione di trasformazione implicano una $Y$ costante, ma la X distribuisce una certa massa di probabilità nel suddetto intervallo $rarr$ qui la variabile Y è DISCRETA
Quindi
$P(|X|>10)=P(|Z|>10/6)=0.096~~10%$....e qui la $Y=0$
2) analogamente
$P(-10
3) Per l'intervallo restante, essendo $Y=2X$ ovvero $x=y/2$
trasformi la gaussiana $f(x)$ sostituendo il valore di $x=y/2$ avendo cura di moltiplicare per la derivata della funzione di trasformazione (è un cambiamento di variabile) trovando subito
$f_Y(y)=1/(12sqrt(2pi))e^(-y^2/288)$
che appunto è ancora gaussiana di media zero e varianza 144
Plottando il grafico viene così:
puoi controllare che la somma delle probabilità (discrete e continue fa 1)
$0.1545xx2+0.096+0.595=1$
Per la CDF devi sommare tutte le probabilità....
Dovrai ovviamente spezzettarla in parecchie parti eh
1) prima di -10 vale zero
2) in $-10$ vale circa 0.155
3) in $(-10;0)$ vale $0.155$ più la $Phi_((0;144))(y)-Phi_((0;144))(-10)=-0.047+Phi_((0;144))(y)$
4) in zero vale $0.155+Phi_((0;144))(0)-Phi_((0;144))(-10)+0.1~~0.55$
ecc ecc....fino ad arrivare a 1
Come vedi, esercizio risolto immediatamente e senza spargere sangue ovunque
spero sia chiaro
RieccomI! Ho tardato un pò a darvi conferma circa l'effettiva comprensione della soluzione, perchè ho nel frattempo appreso altre nozioni. Posso adesso dirvi che credo di essere arrivato ad una completa comprensione della risoluzione del problema. Grazie Tommik ed Arnett Un'ultima banalità, volendo tracciare manualmente un grafico approssimativo della PDF, avendo trovato che la suddetta ha 3 delta di dirac per \(\displaystyle Y = 10, Y = 0, Y = -10 \), come si fa a capire che la funzione calcolata nel restante intervallo si troverà al di sotto di questi impulsi?
Un'ultima banalità, volendo tracciare manualmente un grafico approssimativo della PDF, avendo trovato che la suddetta ha 3 delta di dirac per \(\displaystyle Y = 10, Y = 0, Y = -10 \), come si fa a capire che la funzione calcolata nel restante intervallo si troverà al di sotto di questi impulsi?
"MrEngineer":
volendo tracciare manualmente un grafico approssimativo della PDF
ti ho pure scritto l'espressione analitica della funzione in quell'intervallo
$f_Y(y)=1/(12sqrt(2pi))e^(-y^2/288)$
sai che è fatta a forma di campana con il punto di massimo in $y=0$.....quindi il massimo della funzione sarà $f_Y(0)=1/(12sqrt(2pi))~~0.03$
ciò che non si vede dal grafico plottato (con excel) è se ci sono i flessi oppure no.....ma lo puoi trovare tu, facilmente[nota]senza metterti a derivare eh.....solo con le proprietà della Gaussiana[/nota]
Per quanto riguarda la cdf, hai gentilmente indicato che bisogna sommare tutte le probabilità. La cdf equivale all'integrale della pdf, quindi sarebbe corretto integrare, laddove possibile, nei vari intervallini ottenuti? Che poi,tenendo conto che l'integrale è l'area sottesa alla curva, ci sta che sia la somma..
l'integrale è una somma. Il simbolo $int$ è la degenerazione di una S, sta per somma integrale
Sommi dove la funzione è discreta, integri dove è continua....ti ho messo anche dei parziali risultati. Per l''integrazione usi la $Phi$ oppure la funzione erf: la primitiva non è esprimibile come funzione elementare. Calcolerai l'integrale in alcuni punti fissi della distribuzione.
Ora dovrebbe essere finalmente tutto chiarito...
Sempre cercando nel forum troverai diversi esempi tratti proprio da teoria dei segnali.....quindi molto simili a questo.
Sommi dove la funzione è discreta, integri dove è continua....ti ho messo anche dei parziali risultati. Per l''integrazione usi la $Phi$ oppure la funzione erf: la primitiva non è esprimibile come funzione elementare. Calcolerai l'integrale in alcuni punti fissi della distribuzione.
"tommik":
1) prima di -10 vale zero
2) in $-10$ vale circa 0.155
3) in $(-10;0)$ vale $0.155$ più la $Phi_((0;144))(y)-Phi_((0;144))(-10)=-0.047+Phi_((0;144))(y)$
4) in zero vale $0.155+Phi_((0;144))(0)-Phi_((0;144))(-10)+0.1~~0.55$
ecc ecc fino ad arrivare a 1. Poi oltre 10 è sempre 1
Ora dovrebbe essere finalmente tutto chiarito...
Sempre cercando nel forum troverai diversi esempi tratti proprio da teoria dei segnali.....quindi molto simili a questo.
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