Trasformazione di variabile aleatoria

[Daken97]

Salve a tutti. Se prendessi in considerazione una variabile casuale con funzione di densità $ fx $, e volessi calcolare la funzione di ripartizione della trasformazione $ Y=aX^2+b $, come dovrei procedere? Sto riscontrando difficoltà perché la trasformazione in questione non è monotona, quindi non riesco ad arrivare a dama.

[Lo_zio_Tom]

Il teorema di trasfomazione in caso di funzione monotòna si applica anche alle trasformazioni non monotòne, con le opportune modifiche per generalizzarlo.

Osseva che deve essere

$Y=aX^2+b$

e che scrivere $Y=ax^2+b$ così come $F_x$ è un errore piuttosto grave. Altro errore è che la $F$ maiuscola non è una densità ma una CDF...

Penso che sull'argomento ci siano più di mille topic che ho risolto personalmente in tutti i dettagli

[Daken97]

Giusto quello che hai detto sulla F maiuscola, però mi potresti cortesemente dare una mano per andare avanti? Non riesco proprio ad arrivare alla risposta finale, né a trovare dei topic in cui viene risolto questo esercizio.

[Lo_zio_Tom]

Perché citi tutto il messaggio quando la citazione non ha alcun significato nella comprensione della domanda posta? e se fosse lungo 6 pagine?

Semplicemente usando la definizione (supponiamo $a>0$ e $b>=0$) hai

$F_Y(y)=\mathbb(P)[Y <=y]=\mathbb(P)[aX^2+b <=y]=\mathbb(P)[|X| <=sqrt((y-b)/a)]=F_X(sqrt((y-b)/a))-F_X(-sqrt((y-b)/a))$

fine.

derivi ed ottieni la densità

Ps anche $f_x$ è un errore grave.... si scrive $f_X(x)$ oppure $f_X$ oppure $f(x)$ ... e credimi, mescolare maiuscole con minuscole non è la stessa cosa...


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Esempio: $X ~ U(-1;1)$ calcolare la distribuzione di $Y=X^2$

usando la formula che ti ho ricavato ottieni subito

$F_Y(y)=(sqrt(y)+1)/2-(-\sqrt(y)+1)/2=sqrt(y)$

derivando:

$f_Y(y)=1/(2sqrt(y))\cdot\mathbb(1)_{(0;1)}(y)$

questo esempio l'avrò postato decine e decine di volte in 5 anni....

[Daken97]

Quindi, il risultato che altrove mi è stato fornito, ovvero $ FY(y)=(fX((y-b)/a))/abs(a/2*((y-b)/a) $, è assolutamente errato?