Trasformazione di una variabile aleatoria

[Valentina.pagno]

Salve,
vi scrivo il problema perché non capisco come svolgerlo.

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti ed entrambe aventi distribuzione normale standard N(0,1). Sia Z una variabile definita nel seguente modo:

$Z={(|Y|,if X>=0),(-|Y|,if X<0):}$

Determinare la funzione cumulativa $F_Z$ di Z. Le variabili aleatorie X e Z sono indipendenti?

Secondo la definizione di cumulativa $F_Z(z) = P(Z<=z)$ quindi avevo pensato a un cosa del genere $P(|Y|<=z | X>=0) + P(-|Y|<=z | X<0)$ , ma secondo me non ha senso.
Qualcuno può aiutarmi? Ho un sacco di problemi con le trasformazioni di questo tipo.
Grazie Mille

[Lo_zio_Tom]

EDIT:

dunque Valentina....io ho derivato il risultato senza fare alcun conto perché secondo me si vede subito che la Z si distribuisce anche lei come una normale Std. Capisco che tu abbia qualche problema perché il quesito confonde molto con questi segni...

Il modo più naturale di svolgere questo tipo di trasformazioni è utilizzando il grafico della funzione di trasformazione:

Vediamo come ricavare la CDF di Z:

Il dominio di $Z$ è tutto R, ovviamente. Dividiamo il dominio in due parti

************************
$Z<0$

in questo caso la $F_(Z|X)=P(Z


e quindi facilmente ottieni che $F_(Z|x)=F_(Y)(z)+1-F_(Y)(-z)$ e conseguentemente avrai che:


$F_(Z)(z)=1/2[F_(Y)(z)+1-F_(Y)(-z)]=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$

***********************
$Z>0$

in questo caso, dato che la CDF è la funzione di probabilità cumulata, occorre anche aggiungere tutta la massa concentrata in $Z<0$ ovvero $F(0)=1/2$ e quindi (con ragionamento speculare al precedente) otteniamo




$F_(Z)(z)=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$
************************

Quindi come vedi in entrambi i casi la Funzione di ripartizione viene

[size=150]$F_(Z)(z)=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$[/size]

Come puoi agevolmente controllare, tale F rispetta tutte le proprietà caratterizzanti:

$F(-oo)=0$

$F(+oo)=1$

$d/(dz)F>=0 AAz$



derivando ottieni la densità $f_(Z)(z)=1/2\cdot2phi(z)=phi(z)$ ovvero è una normale standard.

Ovviamente le variabili X e Z sono NON indipendenti....e ciò in quanto, per esempio, se $X>0 rarr P(Z<0)=0$

Si può anche arrivare allo stesso risultato per via analitica come ti avevo indicato al mio primo intervento (ora editato) facendo un po' di attenzione al dominio della variabile ed ai segni....ma così è più naturale.

[Valentina.pagno]

oddio! Grazie Mille.. Ora mi vado a fare tutti i miei bei conticini!

[Valentina.pagno]

"tommik":

$ F_(Z)=P (X> =0) P (|Y|<=z|X> =0)+P (X <0) P (-|Y|<=z|X <0) =$

$=1/2[P (|Y|<=z)+P (-|Y|<=z)] $

Partendo da qua ho fatto il seguente conteggio ma magari ho sbagliato qualcosa

$= 1/2 [P(-z<=Y<=z)+P(-z<=-Y<=z)] $
$= 1/2 [P(Y<=z)-P(Y<=-z)+P(-Y<=z)-P(-Y<=-z)]=$
$= 1/2 [P(Y<=z)-P(Y<=-z)+P(Y>=-z)-P(Y>=z)]$
$=1/2 [P(Y<=z)-P(Y<=-z)+1-P(Y<=-z)-1+P(Y<=z)]$
$=1/2 [P(Y<=z)-P(Y<=-z)-P(Y<=-z)+P(Y<=z)]$ salto un passaggio
$= P(Y<=z)-P(Y<=-z) = P(-z<=Y<=z)$
Ma essendo una normale posso dire
$=2*P(0<=Y<=z)=2/sqrt(2pi) int_0^z e^(-y^2/2) dy$
ora qua forse mi perdo per niente ma non so come andare avanti..

[Valentina.pagno]

"tommik":EDIT:

dunque Valentina....io ho derivato il risultato senza fare alcun conto perché secondo me si vede subito che la Z si distribuisce anche lei come una normale Std. Capisco che tu abbia qualche problema perché il quesito confonde molto con questi segni...

Il modo più naturale di svolgere questo tipo di trasformazioni è utilizzando il grafico della funzione di trasformazione:

Vediamo come ricavare la CDF di Z:

Il dominio di $Z$ è tutto R, ovviamente. Dividiamo il dominio in due parti

************************
$Z<0$

in questo caso la $F_(Z|X)=P(Z


e quindi facilmente ottieni che $F_(Z|x)=F_(Y)(z)+1-F_(Y)(-z)$ e conseguentemente avrai che:


$F_(Z)(z)=1/2[F_(Y)(z)+1-F_(Y)(-z)]=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$

***********************
$Z>0$

in questo caso, dato che la CDF è la funzione di probabilità cumulata, occorre anche aggiungere tutta la massa concentrata in $Z<0$ ovvero $F(0)=1/2$ e quindi (con ragionamento speculare al precedente) otteniamo




$F_(Z)(z)=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$
************************

Quindi come vedi in entrambi i casi la Funzione di ripartizione viene

[size=150]$F_(Z)(z)=1/2+1/2{Phi(z)-Phi(-z)}$[/size]

Come puoi agevolmente controllare, tale F rispetta tutte le proprietà caratterizzanti:

$F(-oo)=0$

$F(+oo)=1$

$d/(dz)F>=0 AAz$



derivando ottieni la densità $f_(Z)(z)=1/2\cdot2phi(z)=phi(z)$ ovvero è una normale standard.

Ovviamente le variabili X e Z sono NON indipendenti....e ciò in quanto, per esempio, se $X>0 rarr P(Z<0)=0$

Si può anche arrivare allo stesso risultato per via analitica come ti avevo indicato al mio primo intervento (ora editato) facendo un po' di attenzione al dominio della variabile ed ai segni....ma così è più naturale.

Premetto di non aver visto questo edit, ma è una cosa che non avevo considerato di usare il disegno.. Visualizzandolo viene più semplice .. Unico dubbio ...Con $\cdot2phi(z)$ intendi sempre la cumulativa? Perché io lo uso come simbolo della caratteristica!

[Lo_zio_Tom]

no con $phi(z)$ intendo la densità di una normale standard mentre con $Phi(z)$ la cumulativa.

in realtà gli esercizi sulle trasformazioni si fanno sempre con il grafico della funzione di trasformazione. All'inizio avevo provato a seguire la tua impostazione ma mi sono incartato da solo...(eppure sapevo già anche il risultato...)

[Valentina.pagno]

Si, infatti ancora adesso con il mio metodo, sbaglio anche i conti! Questo metodo è un po' più smart!

E anche molto più veloce!