Trasformazione di una Esponenziale
Buongiorno ragazzi. Propongo questo esercizio.
"Sia $X$ una variabile aleatoria esponenziale a media $5$. La si trasformi con la legge $Y = g(X)$ in figura:
1. Calcolare e disegnare la pdf di $X$.
2. Calcolare la deviazione standard e il valore quadratico medio della $X$.
3. Calcolare e disegnare la pdf di $Y$.
4. Calcolare e disegnare la cdf di $Y$."
[Risoluzione]
1. La funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale è nota e vale (in base al mio libro di testo):
$f_X(X) = 1/\eta e^(-x/\eta) = 1/5 e^(-x/5)$. Questo dovrebbe essere il suo grafico:
Basta disegnarla così, no? (ovviamente a mano verrà molto più brutta
) Per valori di $x$ via via più grandi la pdf si avvicina sempre più all'asse delle x.
2. Per quanto riguarda deviazione standard e valore quadratico medio, ho trovato essere pari rispettivamente a
$\sigma= \eta = 5$, $m^2 = 2* \eta^2 = 50$.
3. Veniamo al dunque. La funzione di trasformazione ha un andamento a tratti orizzontale, per cui la $Y$ avrà degli impulsi per $Y = 0$ (ovvero per $-1 1$), per $Y = -2$ (ovvero per $X < - 1$).
Per calcolare la probabilità che $Y = 0$, $P(Y = 0)$, devo calcolare la probabilità $P(-1
Analogamente, la probabilità $P(Y = 2)$ = $P(X>1) = 1- P(X<1) = 1 - [1 - e^(-1/\eta)]$ ??
Grazie mille!
N.B.: a coloro che usano Matlab, ho provato in mille modi a plottare la distribuzione esponenziale tramite Matlab, ma il valore $y = 0.2$ non viene assegnato ad $x = 0$ ma ad $x = 1$. La pdf quindi parte dal valore $1$ anziché dal valore $0$. Sapete perchè??
"Sia $X$ una variabile aleatoria esponenziale a media $5$. La si trasformi con la legge $Y = g(X)$ in figura:
1. Calcolare e disegnare la pdf di $X$.
2. Calcolare la deviazione standard e il valore quadratico medio della $X$.
3. Calcolare e disegnare la pdf di $Y$.
4. Calcolare e disegnare la cdf di $Y$."
[Risoluzione]
1. La funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale è nota e vale (in base al mio libro di testo):
$f_X(X) = 1/\eta e^(-x/\eta) = 1/5 e^(-x/5)$. Questo dovrebbe essere il suo grafico:
Basta disegnarla così, no? (ovviamente a mano verrà molto più brutta
) Per valori di $x$ via via più grandi la pdf si avvicina sempre più all'asse delle x.2. Per quanto riguarda deviazione standard e valore quadratico medio, ho trovato essere pari rispettivamente a
$\sigma= \eta = 5$, $m^2 = 2* \eta^2 = 50$.
3. Veniamo al dunque. La funzione di trasformazione ha un andamento a tratti orizzontale, per cui la $Y$ avrà degli impulsi per $Y = 0$ (ovvero per $-1
Per calcolare la probabilità che $Y = 0$, $P(Y = 0)$, devo calcolare la probabilità $P(-1
Analogamente, la probabilità $P(Y = 2)$ = $P(X>1) = 1- P(X<1) = 1 - [1 - e^(-1/\eta)]$ ??
Grazie mille!
N.B.: a coloro che usano Matlab, ho provato in mille modi a plottare la distribuzione esponenziale tramite Matlab, ma il valore $y = 0.2$ non viene assegnato ad $x = 0$ ma ad $x = 1$. La pdf quindi parte dal valore $1$ anziché dal valore $0$. Sapete perchè??
Risposte
Riprendiamo allora in mano i conti.
$k_0 = P(Y = 0) = P(-1
$k_2 = P(Y = 2) = P(X>1) = e^(-1/5) = 0.812$ (in base alla definizione di funzione di sopravvivenza indicata sopra, il calcolo sembra corretto. Tuttavia, qualcosa mi puzza. La somma dei due impulsi è un numero maggiore di 1 ma, soprattutto....)
$k_(-2) = P(Y = -2) = P(X<-1) = 1 - e^(1/5) = -0.221$ ????? una probabilità negativa???
Dove ho sbagliato?
$k_0 = P(Y = 0) = P(-1
$k_2 = P(Y = 2) = P(X>1) = e^(-1/5) = 0.812$ (in base alla definizione di funzione di sopravvivenza indicata sopra, il calcolo sembra corretto. Tuttavia, qualcosa mi puzza. La somma dei due impulsi è un numero maggiore di 1 ma, soprattutto....)
$k_(-2) = P(Y = -2) = P(X<-1) = 1 - e^(1/5) = -0.221$ ????? una probabilità negativa???
Dove ho sbagliato?
ops ho letto male leggendo male la traccia, X è un'esponenziale, quindi..... $x>=0$
Quindi semplicemente così
$f_(Y)(y)={{: (0 , 2 ),( 1-e^(-1/5) , e^(-1/5) ):}$
sorry
piccolo approfondimento....ma utile
Per il calcolo dei momenti della variabile esponenziale può venire in aiuto la Gamma di eulero
Infatti hai che
$E[X^n]=int_(0)^(+oo)x^n1/eta e^(-x/eta)dx=eta^n int_(0)^(+oo)(x/eta)^n e^(-x/eta)d(x/eta)=eta^nint_(0)^(+oo)u^n e^(-u)du=eta^nGamma(n+1)=eta^n*n!$
Quindi semplicemente così
$f_(Y)(y)={{: (0 , 2 ),( 1-e^(-1/5) , e^(-1/5) ):}$
sorry
piccolo approfondimento....ma utile
Per il calcolo dei momenti della variabile esponenziale può venire in aiuto la Gamma di eulero
Infatti hai che
$E[X^n]=int_(0)^(+oo)x^n1/eta e^(-x/eta)dx=eta^n int_(0)^(+oo)(x/eta)^n e^(-x/eta)d(x/eta)=eta^nint_(0)^(+oo)u^n e^(-u)du=eta^nGamma(n+1)=eta^n*n!$
cavoli è vero, l'esponenziale è definita soltanto per $x>=0$. Dunque mi basta tralasciare i valori negativi nei vari intervalli???
Mai farmi dei complimenti... a perdermi in un bicchiere d'acqua e a mandare in fumo un esame per delle banalità ci sto niente. Questo film l'ho già visto....
Ricapitolando per fare chiarezza:
$P(Y = 0) = P(X<1) = 1 - e^(-1/\eta)$.
$P(Y = 2) = P(X>1) = 1- P(X<1) = 1 - [1 - e^(-1/\eta)]$
Questo dovrebbe essere.
EDIT: ho visto ora il tuo edit. I risultati dovrebbero coincidere. Non preoccuparti, mi scuso io per le giargianate che vado scrivendo.
"tommik":
direi che stai imparando....tutto ok
Mai farmi dei complimenti... a perdermi in un bicchiere d'acqua e a mandare in fumo un esame per delle banalità ci sto niente. Questo film l'ho già visto....
Ricapitolando per fare chiarezza:
$P(Y = 0) = P(X<1) = 1 - e^(-1/\eta)$.
$P(Y = 2) = P(X>1) = 1- P(X<1) = 1 - [1 - e^(-1/\eta)]$
Questo dovrebbe essere.
EDIT: ho visto ora il tuo edit. I risultati dovrebbero coincidere. Non preoccuparti, mi scuso io per le giargianate che vado scrivendo.
"tommik":
sei riuscito a far confondere anche me
Mi scuso
però posso dire di essere stato l'unico, non è da tutti (e non so se si debba proprio essere felici di questo )Adesso i conti tornano, ho calcolato gli impulsi e sommano ad uno. Un attimo di pazienza e carico anche i grafici.
Ho aggiornato con i grafici. Grazie per gli spunti e per i suggerimenti!
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