Trasformazione di coppie di variabili aleatorie

[paolotesla91]

Salve a tutti ho dei problemi con un esercizio che riguarda questo argomento. Spiego di seguito il mio problema:

Ho la V.A. $Z=X+Y$. Mi si chiede:

1) PDF di Z
2) P(Z>0)
3) Corr(X,Y)

So che X,Y sono indipendenti e so che $X \rightarrow N(-1,-1)$ e $Y \rightarrow Bern(1/3)$

Il mio problema sta nel valutare il primo punto. Mi spiego meglio:

So dall'esempio che ho sul libro che per una trasformazione del genere la pdf di Z si calcola in questo modo

$f_Z(z)=\int_{-infty}^{+infty} f_X(x)f_Y(z-x) dx $

Ho fattorizzato la PDF congiunta $f_(XY)$ in virtù del fatto che sono infipendenti.

Ma la mia variabile Y è discreta quindi avrà una DF che è la seguente:

$p_Y(y)=\begin{cases} q , y=0 \\ p , y=1 \end{cases}$

Come faccio ad applicarla al mio caso? Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[Wilde1]

Invece di voler applicare formule date alla cieca ti consiglierei per esempio di provare a calcolare la funzione di distribuzione cumulata (funzione di ripartizione) e da quella calcolare la PDF...

[Lo_zio_Tom]

"paolotesla91":

Ho la V.A. $Z=X+Y$. Mi si chiede:

1) PDF di Z

So che X,Y sono indipendenti e so che $X \rightarrow N(-1,-1)$ e $Y \rightarrow Bern(1/3)$

prima di procedere sarebbe cosa buona e giusta capire il testo....che a quanto pare mostra un evidente errore di stampa....

Cosa vuol dire $X~ N(-1;-1)$????

se, come suppongo, $X$ si distribuisce come una normale....sarà $sigma^2=1$ altrimenti per favore specifica cosa vuoi dire.

supponendo che sia così, vediamo come uscire dal problema. La formula che intendi usare tu, è il prodotto di convoluzione. Giusto, ma poco applicabile nella maggior parte dei casi pratici. Il metodo che suggerisce Wilde è corretto e molto più flessibile[strike]ma[/strike] e, in questo caso,[strike]di difficile applicazione[/strike] il metodo migliore. Esistono anche altri metodi, come ad esempio il metodo della funzione generatrice dei momenti o il metodo della variabile ausiliaria.

Io vi propongo un metodo che non è scritto da nessuna parte, si chiama "Metodo del Buon Senso"

supponiamo quindi che l'esercizio sia il seguente:

$Z=X+Y$

$X~ N(-1;1)$
$Y~ B(1;1/3)$

ovvero X è normale e Y è bernulliana con $p=1/3$

e per risolverlo vi propongo una ulteriore modifica nel problema.

Supponiamo di dover risolvere il seguente:

$Z=X+Y$

$X~ N(-1;1)$
$Y~ B(1;10^(-278))$

ovvero $Z$ è data da $X$, normale + una variabile che "praticamente" è degenere in $0$, ovvero in pratica vale sempre zero.

Credete che la PDF di $Z$ sia diversa dalla PDF di $X$???

se sapete risovere questo, dovreste risolvere anche il problema del testo....


PS: è una mia idea, non ho trovato nulla a supporto di ciò e non faccio l'insegnante...ma secondo me funziona

[Wilde1]

Non avevo inserito più nessuna soluzione perchè paolotesla91 non mi sembrava particolarmente interessato.

$F_Z(t)=P(Z<=t)=P(X+Y<=t)=$

$=P(X+Y<=t|Y=0)P(Y=0)+P(X+Y<=t|Y=1)P(Y=1)=$

$=P(X<=t)P(Y=0)+P(X<=t-1)P(Y=1)=$

$=2/3P(X<=t)+1/3P(X<=t-1)=2/3F_X(t)+1/3F_X(t-1)$

(alcuni passaggi sono leciti solo perche le due v.a. sono indipendenti)

Ora ci resta che derivare ed è fatto....

Comunque questo procedimento non è affatto un metodo particolare ma semplicemente si rifà alla definizione di funzione di densità.

[paolotesla91]

Chiedo scusa per la mia assenza e per aver scritto male la traccia purtroppo con i simboli non sono molto bravo. Vi ringrazio per aver risposto. Per quanto riguarda il testo ha ragione tommik con N si indica una normale e con B una bernoulliana di parametro p ma non cpaisco cosa significhi quell'uno $B(1,1/3)$. Comunque non riesco a capire il procedimento logico. Io ho una variabile discreta che può assumere solo due valori e quindi per forza di cose e di logica concludo che anche Z debba essere discreta in quanto tutto l'esercizio si riduce ad un prodotto di convoluzione. Sono appena tornato a casa ed ho letto per sommi capi i post quindi non ho svolto i calcoli avrei bisogno di un pò di tempo per studiarmi bene le proposte. Vi ringrazio ancora per le vostre risposte.

[Lo_zio_Tom]

Semplicemente indico $ B (1, p) $ la Bernoulliana essendo una binomiale con $ n=1$

le due proposte portano allo stesso risultato solo che quella di Wilde è ben formalizzata mentre la mia fa un po pena. ...ma ti può essere utile per capire il concetto sottostante. ...

[paolotesla91]

Ah allora ok adesso capisco cosa significa. Magari domani con calma mi studio la situazione. Grazie ancora se avrò altri dubbi posto lo stesso qui.