Trasformazione della normale bivariata

[EconMax]

Se $(X,Y)$ e' una normale bivariata (con correlazione non necessariamente uguale a zero), allora la variabile doppia $(U,V)$ dove $U=X+Y$ e $V=X-Y$ e' anch'essa una normale bivariata e le sue componenti (cioe' $U$ e $V$) hanno correlazione pari a zero (quindi sono indipendenti).
E' vero? Sapreste indicarmi delle references? Possibilmente un testo in lingua inglese?

[olaxgabry]

Sicuro che $U$ e $V$ sono non correlate? A me vengono correlate, però può darsi che abbia sbagliato qualcosa.

[EconMax]

C'e' una cosa simile in: Giorgio dall'Aglio, Calcolo delle Probabilita', Zanichelli (a pg. 162, equazione (22), la mia edizione del libro e' del 1987). Pero' ho paura di aver interpretato male il testo.

I calcoli sono un vero casino. Infatti forse conviene procedere al contrario: dalla funzione di ripartizione di $(X,Y)$ (per semplicita' meglio prenderla standardizzata) si puo' vedere quale trasformazione di $x$ e $y$ annulla il termine con $\rho$ (dentro all'esponenziale). Pero' non so se sia corretto.

Qualcuno ne ha idea?

[olaxgabry]

Io quello che ho fatto è calcolare la covarianza tra $U$ e $V$, supponendo $X sim N(mu_1,sigma_{1}^{2})$ e $Ysim N(mu_{2}, sigma_{2}^{2})$ e che $Cov(X,Y)=sigma_{12}$.
Una cosa che mi ricordo è la segunte: se la bivariata è Normale, allora le marginali lo sono pure; invece, non vale sempre il contrario.

[EconMax]

Forse ho trovato. $U$ e $V$ sono indipendenti se $Var(X)=Var(Y)$. E' piu' semplice di quello che sembrava:
$Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)$
$E(UV)=E(X^2)-E(Y^2)=Var(X)-Var(Y)+[E(X)]^2-[E(Y)]^2$
$E(U)E(V)=[E(X)+E(Y)]*[E(X)+E(Y)]=[E(X)]^2-[E(Y)]^2$
Quindi:
$Cov(U,V)=Var(X)-Var(Y)$
che e' zero se e solo se $Var(X)=Var(Y)$.
Vi sembra che torna?
Quindi, in generale, prima bisogna standardizzare $X$ e $Y$ in modo da rendere le loro varianze uguali (per esempio uguali a 1) e a quel punto la somma e la differenza sono una normale bivariata con componenti indipendenti ... se non ho fatto altri errori

[olaxgabry]

Si, infatti la covarianza tra $U$ e $V$ mi veniva la differenza tra la varianza di $X$ e quella di $Y$; se le standardizzi o se hanno la stessa varianza, allora è ok.