Trasformazione bivariata

[elevenplume]

Ciao a tutti,
ecco un altro esercizio dal quale non riesco ad uscire...
Sia \(X \) uniforme tra \(0 \) e \(1 \) e \(Y \) uniforme tra \(1 \) e \(3 \). Trovare la densità di \(Z=2X+Y \).
Quello che ho pensato di fare era un approccio classico al problema.
Ovvero ricavare \(f_X(x) \) e \(f_Y(y) \), trovare la distribuzione congiunta delle medisime \(f_{XY}(x,y) \) e intergrarla sul dominio del rettangolo dato restringendolo, nei vari casi, con la retta \(Z=2X+Y \).
Tutto ciò sarebbe facile solo presupponendo l'indipendenza tra le variabili, cosa che non è data nel testo.
In realtà, mi pare di sapere, che il dominio rettangolare sia solo condizione necessaria per l'indipendenza e non basta quindi per giusticare il procedimento che avrei adottato.
Mi perdo qualcosa io o se ne esce solo così ?

[Lo_zio_Tom]

"elevenplume":
Tutto ciò sarebbe facile solo presupponendo l'indipendenza tra le variabili, cosa che non è data nel testo.

perché il testo è scritto con i piedi[nota]a questo punto mi sorgono dubbi anche circa la corretta traccia dell'altro topic...magari quel $X^4$ era un $X^2$ [/nota]. Senza l'ipotesi di indipendenza devi avere informazioni su come trovare la distribuzione congiunta....quindi l'ipotesi di indipendenza è ovviamente (malamente) sottintesa.

In questo caso, da studente diligente, fai un bel preambolo come hai fatto e dici

Ipotizzo che le variabili siano indipendenti.....e prosegui.

PS: non serve neanche integrare la congiunta, basta far variare la retta all'interno del rettangolo del dominio e valutarne l'area (moltiplicata per la densità congiunta), dato che la densità congiunta è una costante ($1/2$).

EDIT: si fa quasi a mente il calcolo della CDF di $Z$

[elevenplume]

Grazie mille,
Purtroppo la poca chiarezza nei testi non aiuta la risoluzione...
Riguardo all'altro thread spero anche io, sarebbero 2 giorni di calcoli su calcoli per nulla

[Lo_zio_Tom]

alla fine comunque erano 4 calcoli....niente di così stravolgente. Il fatto è che se il grado di difficoltà degli esercizi è come questo, dubito fortemente nel testo dell'altro esercizio...


Per questo esercizio, come dicevo, invece che stare ad integrare e perdere tempo con un integrale doppio....dato che la densità congiunta è costante



La $F_Z(z)$ è rappresentata dall'area colorata moltiplicata per l'altezza del parallelepipedo (che rappresenta la densità bivariata)...ovvero per $1/2$, che è appunto la densità congiunta.

quindi, per $z in (1;3)$ la CDF viene semplicemente $(z-1)^2/8$

per $z in (3;5)$ basta fare il complementare del triangolino in alto a destra.....ottieni quindi immediatamente

$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<1 ),( (z-1)^2/8 , ;1<=z<3 ),( 1-(5-z)^2/8 , ;3<=z<5 ),( 1 , ;z>=5) :}$

derivi e trovi la densità, senza scomodare nessun integrale doppio...

[elevenplume]

Grazie mille ancora !