Traiettorie del processo di Wiener
Volevo la conferma della dimostrazione del fatto che le traiettorie di un processo di Wiener $(W_t)$ non possono essere $\alpha$-hölderiane con $\alpha>1/2$:
posso utilizzare il fatto che, dato $t$, per quasi ogni $\omega$ risulta $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2^n-1}(W_{\frac{t(k+1)}{2^n}}-W_{\frac{tk}{2^n}})^2=t$.
- Poiché le traiettorie sono hölderiane, $(W_{\frac{t(k+1)}{2^n}}-W_{\frac{tk}{2^n}})^2\leq C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha}$.
- Per la proposizione precedente (sommando e passando al limite) $t\leq C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha}2^n$, cioè $C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha-1}\geq 1$, che è in generale falso a meno che non sia $2\alpha-1\leq 0$, cioè $\alpha\leq 1/2$.
Va bene?
posso utilizzare il fatto che, dato $t$, per quasi ogni $\omega$ risulta $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2^n-1}(W_{\frac{t(k+1)}{2^n}}-W_{\frac{tk}{2^n}})^2=t$.
- Poiché le traiettorie sono hölderiane, $(W_{\frac{t(k+1)}{2^n}}-W_{\frac{tk}{2^n}})^2\leq C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha}$.
- Per la proposizione precedente (sommando e passando al limite) $t\leq C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha}2^n$, cioè $C^2(\frac{t}{2^n})^{2\alpha-1}\geq 1$, che è in generale falso a meno che non sia $2\alpha-1\leq 0$, cioè $\alpha\leq 1/2$.
Va bene?
Risposte
quella che ottieni è una condizione sufficiente 
(cioè dimostri che sono $\alpha$-Holderiane, con $\alpha \leq 1/2$, ma non dimostri che non lo sono nei rimanenti casi, semplicemente la dimostrazione non funziona per gli altri casi 
)
Comunque il fatto è giusto.
(cioè dimostri che sono $\alpha$-Holderiane, con $\alpha \leq 1/2$, ma non dimostri che non lo sono nei rimanenti casi, semplicemente la dimostrazione non funziona per gli altri casi )Comunque il fatto è giusto.
Acc! Va beh, ci ho provato 
Ma vediamo di capire cosa c'è che non va: che il limite suddetto sia $t$, se non ho capito male, dovrebbe essere una condizione necessaria perché il processo sia di Wiener, no? Cioè, se $(W_t)$ è un processo di Wiener, allora vale quel limite... Fin qui ci siamo?
Ma vediamo di capire cosa c'è che non va: che il limite suddetto sia $t$, se non ho capito male, dovrebbe essere una condizione necessaria perché il processo sia di Wiener, no? Cioè, se $(W_t)$ è un processo di Wiener, allora vale quel limite... Fin qui ci siamo?
tu hai mostrato che per $\alpha\leq 1/2$ vale la dimostrazione e quindi il risultato, questo non implica che allora il risultato è falso per $\alpha>1/2$ (come hai enunciato te).
OK, ma vorrei capire dove sbaglio... Tra l'altro avrei dimostrato una cosa falsa, visto che pare che il valore $1/2$ non possa essere raggiunto: parola di Paul Lévy 
La dimostrazione del fatto che per $\alpha<1/2$ posso trovare processi di Wiener con traiettorie $\alpha$-hölderiane l'ho vista e si basa sul criterio di continuità di Kolmogorov.
La dimostrazione del fatto che per $\alpha<1/2$ posso trovare processi di Wiener con traiettorie $\alpha$-hölderiane l'ho vista e si basa sul criterio di continuità di Kolmogorov.
Ciao retro. Ci stai girando intorno.
Innanzitutto la parola di Levy è abbastanza autorevole ed invatti non vale la holderianità di 1/2.
Quello che dici è sni vero perchè parti dall'assunto che le traiettorie sono holderiane.
In realtà è proprio questa la parte: se supponi per assurdo che siano holderiane di parametro maggiore di 1/2 arrivi ad una contradizione con il fatto che la variazione quadratica sia pari a t (stai attento quando scrivi sommando e facendo il limite come mai a destra hai ancora n? Occhio alla formalità). Infatti se una funzione è holderiana di parametro maggiore di 1/2 deve essere a variazione quadratica limitata.
Questo link comunque dimostra un bel po di roba. Non è però tutto immediato.
http://www.statslab.cam.ac.uk/~beresty/ ... al/sc3.pdf
Innanzitutto la parola di Levy è abbastanza autorevole ed invatti non vale la holderianità di 1/2.
Quello che dici è sni vero perchè parti dall'assunto che le traiettorie sono holderiane.
In realtà è proprio questa la parte: se supponi per assurdo che siano holderiane di parametro maggiore di 1/2 arrivi ad una contradizione con il fatto che la variazione quadratica sia pari a t (stai attento quando scrivi sommando e facendo il limite come mai a destra hai ancora n? Occhio alla formalità). Infatti se una funzione è holderiana di parametro maggiore di 1/2 deve essere a variazione quadratica limitata.
Questo link comunque dimostra un bel po di roba. Non è però tutto immediato.
http://www.statslab.cam.ac.uk/~beresty/ ... al/sc3.pdf
Giusto DajeForte, devo fare la somma da entrambe le parti e poi, andando al limite da entrambe le parti, trovo che la parte a sinistra tende a $t>0$, mentre la parte destra, cioè $C^2\frac{t^{2\alpha}}{(2^n)^{2\alpha-1}}$ tende a 0, generando un assurdo, a meno che non sia $\alpha\leq 1/2$. Va bene?
Ah, grazie anche per il link, contiene molte cose che non ho i mezzi per comprendere, ma alcune cose mi fanno comodo. Anche io ho trovato un documento che tratta la questione e in particolare dimostra quello che vorrei dimostrare io con il corollario 3.10.
Ah, grazie anche per il link, contiene molte cose che non ho i mezzi per comprendere, ma alcune cose mi fanno comodo. Anche io ho trovato un documento che tratta la questione e in particolare dimostra quello che vorrei dimostrare io con il corollario 3.10.
Si, direi che sembra sensato. Avevo fatoo un typo prima. Se e' holderiana di $alpha>1/2$ allora la sua variazione quadratica deve essere $0$.
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