Tiro al bersaglio
ciao ragazzi.. vorrei proporvi questo esercizio che non riesco a risolvere:
stiamo sparando a un bersaglio che si trova su un piano bidimensionale. Le distanze in orizzontale e in verticale del punto che colpiamo rispetto al bersaglio sono variabili aleatorie normali e indipendenti con media 0 e varianza 4. Sia D la distanza tra il bersaglio e il punto colpito. Quandto vale la media di D ?
allora ragazzi io ho impostato il problema come segue:
inanzi tutto osservo che:
$ D^2 = X1^2 + X2^2 $
dette X1 e X2 le distanze orizzontali e verticali dal punto...
D^2 non è ancora una chi quadro...
ma se definisco Y come:
$ Y = Z1 + Z2 $
con $Z1+Z2 = (X1) /2 + (X2)/2 $
Y è una chi quadro con 2gradi di libertà...
il punto è che ora non so piu' andare avanti... cio'è anche calcolando la media della variabile Y non riesco a risalire a quella D....
qualcuno sa darmi una manO ??
grazieee
stiamo sparando a un bersaglio che si trova su un piano bidimensionale. Le distanze in orizzontale e in verticale del punto che colpiamo rispetto al bersaglio sono variabili aleatorie normali e indipendenti con media 0 e varianza 4. Sia D la distanza tra il bersaglio e il punto colpito. Quandto vale la media di D ?
allora ragazzi io ho impostato il problema come segue:
inanzi tutto osservo che:
$ D^2 = X1^2 + X2^2 $
dette X1 e X2 le distanze orizzontali e verticali dal punto...
D^2 non è ancora una chi quadro...
ma se definisco Y come:
$ Y = Z1 + Z2 $
con $Z1+Z2 = (X1) /2 + (X2)/2 $
Y è una chi quadro con 2gradi di libertà...
il punto è che ora non so piu' andare avanti... cio'è anche calcolando la media della variabile Y non riesco a risalire a quella D....
qualcuno sa darmi una manO ??
grazieee
Risposte
$D=2*sqrt(((X_1)/2)^2+((X_2)/2)^2)\ sim\ 2\ sqrt(chi_2)$
$E[D]=2int_0^(infty)sqrt(x)\ f_chi(x)dx$
$E[D]=2int_0^(infty)sqrt(x)\ f_chi(x)dx$
"DajeForte":
$D=2*sqrt(((X_1)/2)^2+((X_2)/2)^2)\ sim\ 2\ sqrt(chi_2)$
$E[D]=2int_0^(infty)sqrt(x)\ f_chi(x)dx$
ero arrivato a una cosa analoga...
partendo pero' dalla media di Y ( quella definita da me ).
il fatto è che quell' integrale non mi fornisce il risultato sperato... il mio procedimento è stato il seguente :
$ E[D^2] = E[sqrt(D)] = E[sqrt((X_1)^2 + (X_2)^2)] = 2*E[sqrt((Z_1)^2 + (Z_2)^2)] = 2*E[sqrt(Y)] $
detto questo sapendo che Y è una chi quadro a due gradi di libertà ne deduciamo la sua funzione di densità essendo quella di una gamma di parametri $(n/2;1/2) = (1;1/2)$
quindi abbiamo che: $ f_x = 1/2*e^{-x/2} $
ora come hai fatto tu passo a calcolare tramite definizione la media:
$ 1/2*int_(0)^(oo ) sqrt(y)*e^{-y/2}*dy $
ponendo $sqrt(x) = t$ otteniamo:
$ int t*t*e^{-(t^2)/2} $ e integrando per parti ottengo: $-e^{-(t^2)/2} * (t+1)$ tornando in x si ottiene: $-e^{-(x)/2} * (sqrt(x) - 1)$
e valutato tra zero e infinito da $1$... qualcuno sa dirmi dove sbaglio ? il libro riporta come risultato $sqrt(2*pi)
"Clod":
$ E[D^2] = E[sqrt(D)] = E[sqrt((X_1)^2 + (X_2)^2)] = 2*E[sqrt((Z_1)^2 + (Z_2)^2)] = 2*E[sqrt(Y)] $
Le prime due uguaglianza sono sbagliate.
Però alla fine la soluzione è quell'integrale che fa $sqrt(2 pi)$.
Fai la sostituzione giusta e pensa all'integrale di gauss (o varianza della normale).
"DajeForte":
[quote="Clod"]$ E[D^2] = E[sqrt(D)] = E[sqrt((X_1)^2 + (X_2)^2)] = 2*E[sqrt((Z_1)^2 + (Z_2)^2)] = 2*E[sqrt(Y)] $
Le prime due uguaglianza sono sbagliate.
Però alla fine la soluzione è quell'integrale che fa $sqrt(2 pi)$.
Fai la sostituzione giusta e pensa all'integrale di gauss (o varianza della normale).[/quote]
si era $E[D] = E[sqrt(D^2)]$ nella fretta ho invertito
cmq l'integrale l'ho risolto con una sostituzione ma credo di aver sbagliato...
Ovvero quale hai fatto?
"DajeForte":
Ovvero quale hai fatto?
ecco ho capito l'errore che ho fatto... è di conto...potresti darmi qualche altro indizio su come integrare ?
La sostituzione è giusta, la primitiva no.
Controllando anche che non ti sia perso qualche costante, puoi arrivare a quest'integrale: $sqrt(2pi)\ int_(-infty)^(+infty)\ t^2/(sqrt(2pi))e^(-(t^2)/2)\ dt = sqrt(2pi)$
L'integrale e tutta la sua integranda definiscono la varianza di una normale standard.
Controllando anche che non ti sia perso qualche costante, puoi arrivare a quest'integrale: $sqrt(2pi)\ int_(-infty)^(+infty)\ t^2/(sqrt(2pi))e^(-(t^2)/2)\ dt = sqrt(2pi)$
L'integrale e tutta la sua integranda definiscono la varianza di una normale standard.
allora ci ho riprovato e ho capito dove vuoi farmi arrivare... non mi torna una cosa...
fatta la sostituzione l'integrale diventa:
$ int_(0)^(oo) t^2e^{-(t^2)/2}dt $
adesso moltiplico per $sqrt(2*pi)/sqrt(2*pi)$ e ottengo: $ sqrt(2pi)*int_(0)^(oo) (t^2/sqrt(2pi))*e^{-(t^2)/2}*dt $
e l'integrale è similissimo a una un gaussiano dove la varianza è pari a 1 e la media è pari a zero...
ora non capisco come estendere l'integrale su tutto R e non partendo da zero..
ho provato notando che l'integranda è pari e quindi ottengo:
$sqrt(2pi)/2*int_(-oo)^(oo) (t^2/sqrt(2pi))*e^{-(t^2)/2}*dt $ e l'integrale è una densità e per definizione vale 1, rimarrebbe quindi $sqrt(2pi)/2$ risultato sbagliato nuovamente...
fatta la sostituzione l'integrale diventa:
$ int_(0)^(oo) t^2e^{-(t^2)/2}dt $
adesso moltiplico per $sqrt(2*pi)/sqrt(2*pi)$ e ottengo: $ sqrt(2pi)*int_(0)^(oo) (t^2/sqrt(2pi))*e^{-(t^2)/2}*dt $
e l'integrale è similissimo a una un gaussiano dove la varianza è pari a 1 e la media è pari a zero...
ora non capisco come estendere l'integrale su tutto R e non partendo da zero..
ho provato notando che l'integranda è pari e quindi ottengo:
$sqrt(2pi)/2*int_(-oo)^(oo) (t^2/sqrt(2pi))*e^{-(t^2)/2}*dt $ e l'integrale è una densità e per definizione vale 1, rimarrebbe quindi $sqrt(2pi)/2$ risultato sbagliato nuovamente...
Ti sarai perso un 2 per strada, a me torna.
I due (o un mezzo) saltano fuori: nella media di D = $2E[sqrt(Y)]$, nella funzione di densità, nel cambiamento di variabile, nell'estendere l'integrale a meno infinito.
Ti conviene rifarti i conti da capo invece di ercare l'errore, secondo me ti sei perso il primo 2.
I due (o un mezzo) saltano fuori: nella media di D = $2E[sqrt(Y)]$, nella funzione di densità, nel cambiamento di variabile, nell'estendere l'integrale a meno infinito.
Ti conviene rifarti i conti da capo invece di ercare l'errore, secondo me ti sei perso il primo 2.
Interessante questo problema.
Ho provato a determinare la pdf della distanza $D$. Spero di non aver commesso errori..
Sappiamo che $D=2\sqrt(chi_2)->chi_2=D^2/4$ e $(dchi_2)/(dD)=D/2$, quindi $f(D)=f_(chi_2)(chi_2=D^2/4)*D/2=1/2*e^(-1/2*D^2/4)*D/2=D/4*e^(-D^2/8)$
Con la pdf ho calcolato la media $E[D]=\int_{0}^{+\infty}D*D/4*e^(-D^2/8)dD=...=\int_{-\infty}^{+\infty}e^(-z^2/2)dz=sqrt(2pi)$ (mi viene lo stesso risultato
)
Ho provato anche a trovare la varianza (qualche calcolo in più...):
$Var(D)=\int_{0}^{+\infty}(D-\sqrt(2pi))^2*D/4*e^(-D^2/8)dD=...=8-2pi$
Mi chiedevo nel caso in cui le coordinate $X_1$ e $X_2$ fossero due normali indipendenti con varianze diverse (con media sempre nulla o addirittura con medie non nulle e diverse)... il procedimento seguito non è più ripetibile, giusto?
In tal caso credo che per determinare la media di $D$ dovremmo per forza calcolare la pdf di $D=\sqrt(X_1^2+X_2^2)$ passando per la pdf congiunta $f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)*f_{X_2}(x_2)$
Come si procede in tal caso ?
Ho provato a determinare la pdf della distanza $D$. Spero di non aver commesso errori..
Sappiamo che $D=2\sqrt(chi_2)->chi_2=D^2/4$ e $(dchi_2)/(dD)=D/2$, quindi $f(D)=f_(chi_2)(chi_2=D^2/4)*D/2=1/2*e^(-1/2*D^2/4)*D/2=D/4*e^(-D^2/8)$
Con la pdf ho calcolato la media $E[D]=\int_{0}^{+\infty}D*D/4*e^(-D^2/8)dD=...=\int_{-\infty}^{+\infty}e^(-z^2/2)dz=sqrt(2pi)$ (mi viene lo stesso risultato
)Ho provato anche a trovare la varianza (qualche calcolo in più...):
$Var(D)=\int_{0}^{+\infty}(D-\sqrt(2pi))^2*D/4*e^(-D^2/8)dD=...=8-2pi$
Mi chiedevo nel caso in cui le coordinate $X_1$ e $X_2$ fossero due normali indipendenti con varianze diverse (con media sempre nulla o addirittura con medie non nulle e diverse)... il procedimento seguito non è più ripetibile, giusto?
In tal caso credo che per determinare la media di $D$ dovremmo per forza calcolare la pdf di $D=\sqrt(X_1^2+X_2^2)$ passando per la pdf congiunta $f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)*f_{X_2}(x_2)$
Come si procede in tal caso ?
il risultato torna uguale ( io ho capito dov'era il mio errore... mi ero dimenticato il due davanti alla media)...
purtroppo non capisco i passaggi che hai fatto.... cio'è credo mi manchi la teoria per capirli forse :O potresti spiegarmi ?
purtroppo non capisco i passaggi che hai fatto.... cio'è credo mi manchi la teoria per capirli forse :O potresti spiegarmi ?
"Clod":
il risultato torna uguale ( io ho capito dov'era il mio errore... mi ero dimenticato il due davanti alla media)...
purtroppo non capisco i passaggi che hai fatto.... cio'è credo mi manchi la teoria per capirli forse :O potresti spiegarmi ?
Hai ragione, ho scritto in maniera poco comprensibile...
Nel seguito indico la distanza D con la lettera Y e la chi quadro con la lettera X.
Allora, abbiamo ottenuto questa relazione tra le due variabili: $Y=2\sqrt(X)$
In pratica Y è una variabile aleatoria trasformata della X.
Sappiamo inoltre che la X è una chi quadro con 2 gradi di libertà e quindi ha una densità che tu stesso hai già calcolato in uno dei primi post: $f_X(x)=1/2*e^(-1/2*x)$
Ora c'è un teorema che ci consente di determinare la densità (pdf) di una v.a. trasformata di un'altra.
http://en.wikipedia.org/wiki/Probabilit ... _variables
In sostanza afferma che se le due variabili sono legate da una funzione $\phi$ continua e strett. crescente ($Y=\phi(X)$), allora puoi trovare la densità di Y a partire da quella di X con la seguente formula:
$f_Y(y)=f_X(x)*(dx)/(dy)$ (con $(dx)/(dy)>0$)
dove $f_X(x)$ va calcolata in $x=\phi^(-1)(y)$
Nel nostro caso $Y=2\sqrt(X)$ è continua e strettamente crescente.
Ricavo la funzione inversa $x=y^2/4$ e calcolo la derivata $(dx)/(dy)=y/2>0$
Calcoliamo ora $f_X(x)$ per $x=y^2/4$
Sappiamo che $f_X(x)=1/2*e^(-1/2*x)$ (è la densità della chi quadro con 2 g.d.l.)
Dobbiamo sostituire $x=y^2/4$. Otteniamo: $1/2*e^(-1/2*y^2/4)=1/2*e^(-y^2/8)$
Applichiamo ora la formula per avere infine la pdf della Y:
$f_Y(y)=f_X(x)*(dx)/(dy)=1/2*e^(-y^2/8)*y/2=1/4*y*e^(-y^2/8)$
Con la densità della Y (cioè della distanza), puoi ovviamente calcolare la media come ho indicato prima $\int_{0}^{+\infty}y*f_Y(y)dy$, ma su questo non credo tu abbia difficoltà.
Spero di non avere scritto troppe castronerie..
ho capito ho capito !! è una teorema che avevo studiato ma che è finito nel dimenticatoio in quanto ho sempre cercato vie piu' rapide =)
ad ogni modo ho capito i passaggi grazie mille purtroppo non so rispondere alle domande che hai posto nel precedente post, aspettiamo che si faccia avanti qualcuno
ad ogni modo ho capito i passaggi grazie mille purtroppo non so rispondere alle domande che hai posto nel precedente post, aspettiamo che si faccia avanti qualcuno
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