Test Score di Rao
Salve, vorrei capire se lo svolgimento di questo esercizio è giusto:
Sia X1,X2,...Xn un campione casuale estratto da una v.c. di Poisson con funzione di probabilità
$ f(lambda ,y)= lambda ^x/(x!)e^-lambda $
(a) Si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza per λ.
(b) Si ricavi il test Score per saggiare, ad un livello fissato pari a 0.05, il seguente sistema di ipotesi:
$ { ( H0:\lamda=lamda0 ),( H1:\lambda!= \lambda0 ):} $
(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.
La mia soluzione è la seguente:
$ A) $ Trovo la verosimiglianza della funzione e successivamente calcolo la logverosimiglianza: $ logv(\theta,y)=sumy*log(\lamda)-n\lamda-sumlogyi! $ .
Successivamente calcolo la statistica score: $ U(\theta,y)=y/\theta-n $ da cui, ponendo a 0 la funzione score, ottengo lo stimatore di maxv: $ \theta^(^MV)=(sum(y))/n $ .
Fino a qui tutto molto semplice, ora arriva la parte su cui sono insicuro.
$ B) $ Per calcolare la funzione score ho effettuato il rapporto tra la statistica score al quadrato ($ U(\theta,y)=((sumy)/lamda-n)^2 $)e l'informazione attesa di Fisher( $ -E[(partial^2 l)/(partial \theta^2) ]=-E[-(sumyi)/(\theta^2)]=\theta/\theta^2=1/\theta $ ); dunque $ U(\theta,y)^2/(I(\theta)) $
Tale risultato avrà convergerà asintoticamente ad una chi-quadro con n-1 gradi di libertà.
Infine troviamo il quantile corrispondente al nostro livello di confidenza e da qui verifichiamo se la statistica score ottenuta è compresa nell'intervallo d'accettazione: Se la risposta è si, accettiamo Ho, sennò rifiutiamo.
$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.
Sia X1,X2,...Xn un campione casuale estratto da una v.c. di Poisson con funzione di probabilità
$ f(lambda ,y)= lambda ^x/(x!)e^-lambda $
(a) Si ricavi lo stimatore di massima verosimiglianza per λ.
(b) Si ricavi il test Score per saggiare, ad un livello fissato pari a 0.05, il seguente sistema di ipotesi:
$ { ( H0:\lamda=lamda0 ),( H1:\lambda!= \lambda0 ):} $
(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.
La mia soluzione è la seguente:
$ A) $ Trovo la verosimiglianza della funzione e successivamente calcolo la logverosimiglianza: $ logv(\theta,y)=sumy*log(\lamda)-n\lamda-sumlogyi! $ .
Successivamente calcolo la statistica score: $ U(\theta,y)=y/\theta-n $ da cui, ponendo a 0 la funzione score, ottengo lo stimatore di maxv: $ \theta^(^MV)=(sum(y))/n $ .
Fino a qui tutto molto semplice, ora arriva la parte su cui sono insicuro.
$ B) $ Per calcolare la funzione score ho effettuato il rapporto tra la statistica score al quadrato ($ U(\theta,y)=((sumy)/lamda-n)^2 $)e l'informazione attesa di Fisher( $ -E[(partial^2 l)/(partial \theta^2) ]=-E[-(sumyi)/(\theta^2)]=\theta/\theta^2=1/\theta $ ); dunque $ U(\theta,y)^2/(I(\theta)) $
Tale risultato avrà convergerà asintoticamente ad una chi-quadro con n-1 gradi di libertà.
Infine troviamo il quantile corrispondente al nostro livello di confidenza e da qui verifichiamo se la statistica score ottenuta è compresa nell'intervallo d'accettazione: Se la risposta è si, accettiamo Ho, sennò rifiutiamo.
$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.
Risposte
"Drago98":
$ 3) $ Francamente penso sia un errore del testo.
In che senso un errore?
"Drago98":
(c) Si ricavi un intervallo di confidenza asintotico per il coefficiente di variazione della v.c. del punto 1. al livello 1−α.
se per 3) intendi il punto c) della traccia mi pare chiaro e di semplice soluzione:
Il coefficiente di variazione è $sigma/mu=sqrt(lambda)/lambda=1/sqrt(lambda)$
tale coefficiente è una funzione monotona del parametro, quindi.....
Il resto dell'esercizio va più o meno bene[nota]a volte scrivi $lambda$ a volte $theta$, il significato è chiaro ma fai attenzione che chi legge poi non capisce più nulla[/nota] ma la statistica che hai calcolato converge in distribuzione, sotto $mathcal(H)_0$, ad una chi quadro con 1 gdl e non con $(n-1)$ come hai detto tu.
Inoltre l'informazione attesa di fischer verrà $n/lambda$, ovviamente, dato che $Sigma_i Y_i~ Po(nlambda)$
(infine occorrerebbe specificare di trovare un test asintotico, anche perché provare quel sistema di ipotesi con un test esatto lo vedo complicato)
Per quanto riguarda l'intervallo di confidenza asintotico della poisson, pur essendo semplice, capisco che non sia una richiesta molto standard, quindi ti indico come fare:
A) calcoli l'intervallo di confidenza per $lambda$
a tal proposito osservi che puoi utilizzare la seguente quantità pivotale:
$(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)$
a questo punto hai due strade percorribili
A1) stimare la deviazione standard della media (procedura consigliata) con $sqrt(bar(X)/n)$ e trovare immediatamente un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$ del tipo[nota]ovviamente ho indicato $mathbb{P}[Z>z_alpha]=alpha$[/nota]
$bar(X)+-z_(alpha/2)sqrt(bar(X)/n)$
A2) risolvere in $lambda$ le disuguaglianze
$-z_(alpha/2)<(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)
che, con semplici passaggi algebrici, portano a trovare il seguente intervallo di confidenza per $lambda$ a livello $(1-alpha)$
$bar(X)+(z_(alpha/2)^2)/(2n)+-sqrt(((z_(alpha/2)^2)/(2n))^2+bar(X)(z_(alpha/2)^2)/(n))$
B) trovato l'intervallo di confidenza per $lambda$ facilmente ricavi quello per una sua funzione monotona...
A) calcoli l'intervallo di confidenza per $lambda$
a tal proposito osservi che puoi utilizzare la seguente quantità pivotale:
$(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)$
a questo punto hai due strade percorribili
A1) stimare la deviazione standard della media (procedura consigliata) con $sqrt(bar(X)/n)$ e trovare immediatamente un intervallo di confidenza a livello $(1-alpha)$ del tipo[nota]ovviamente ho indicato $mathbb{P}[Z>z_alpha]=alpha$[/nota]
$bar(X)+-z_(alpha/2)sqrt(bar(X)/n)$
A2) risolvere in $lambda$ le disuguaglianze
$-z_(alpha/2)<(bar(X)-lambda)/sqrt(lambda/n)
che, con semplici passaggi algebrici, portano a trovare il seguente intervallo di confidenza per $lambda$ a livello $(1-alpha)$
$bar(X)+(z_(alpha/2)^2)/(2n)+-sqrt(((z_(alpha/2)^2)/(2n))^2+bar(X)(z_(alpha/2)^2)/(n))$
B) trovato l'intervallo di confidenza per $lambda$ facilmente ricavi quello per una sua funzione monotona...
Si, ieri ho fatto nottata con i libri (come si vede anche dall'orario del post) e in effetti gli errori di distrazione si vedono ahah.
Comunque, dato che è una funzione monotona, possiamo usare anche il test del rapporto verosimiglianza semplice?
Così da approssimare il risultato ottenuto attraverso una chi quadro con 1 grado di libertà e verificare, attraverso il confronto tra il valore ottenuto col TRV e il quantile corrispondente al nostro $alpha$ , il seguente sistema d'ipotesi: $ { ( H0:lambda=lamda0 ),( H1:lamda!= lamda0 ):} $ ?
Comunque, dato che è una funzione monotona, possiamo usare anche il test del rapporto verosimiglianza semplice?
Così da approssimare il risultato ottenuto attraverso una chi quadro con 1 grado di libertà e verificare, attraverso il confronto tra il valore ottenuto col TRV e il quantile corrispondente al nostro $alpha$ , il seguente sistema d'ipotesi: $ { ( H0:lambda=lamda0 ),( H1:lamda!= lamda0 ):} $ ?
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