Test d'ipotesi: livello significatività e potenza
Altro esercizio su cui ho dei dubbi:
Una moneta può essere equa oppure avere un difetto che la porta ad avere la probabilità di avere testa T pari a 0.8.
Si costruisce un test nella maniera che segue: ipotizzando (Ho) che la moneta sia equa, questa si lancia 5 volte; se riesce un risultato con più di 3 testa si rigetta Ho altrimenti si accetta.
Quanto vale il livello di significatività e quanto vale la potenza di questo test?
Ho ragionato nel modo seguente: ho calcolato con Bernoulli la p di ottenere 3 volte testa su 5 lanci in caso di moneta equa, cioè con p=0.5, quindi: $ n! // x! * (n - x)! $ cioè 5!/3!*(5-3)!=0.312.
Ora, ed è qui che non sono sicura, verifico un caso più estremo di quello osservato, ad esempio x=4 e ripetendo Bernoulli ottengo p=0.156. Questo 0.156 rappresenta la p di ottenere un valore più estremo di quello osservato ed è la p di rifiutare Ho quando è vera, cioè è l'errore di primo tipo cioè la significatività del test! E' giusto questo ragionamento?
Poi, l'errore di 2 tipo è "non rifiutare Ho quando Ho è falsa". Per trovarlo sono partita dal valore di p in caso di verità di H1, nel nostro caso è p=0.8. Da qui ho calcolato sempre con Bernoulli la p di ottenere 3 volte testa su 5 lanci in caso di moneta non equa (p=0.8) ottenedno p=0.205.
Ho seguito quindi lo stesso ragionamento di prima cioè ho calcolato la p di ottentere 3 vlte T su 5 lanci con moneta non equa in un caso più estremo (es.x=4) e la probabilità ottenuta è 0.041. Infine 1-0.041=0.959 e questa è la potenza del test.
Dove sbaglio?
Una moneta può essere equa oppure avere un difetto che la porta ad avere la probabilità di avere testa T pari a 0.8.
Si costruisce un test nella maniera che segue: ipotizzando (Ho) che la moneta sia equa, questa si lancia 5 volte; se riesce un risultato con più di 3 testa si rigetta Ho altrimenti si accetta.
Quanto vale il livello di significatività e quanto vale la potenza di questo test?
Ho ragionato nel modo seguente: ho calcolato con Bernoulli la p di ottenere 3 volte testa su 5 lanci in caso di moneta equa, cioè con p=0.5, quindi: $ n! // x! * (n - x)! $ cioè 5!/3!*(5-3)!=0.312.
Ora, ed è qui che non sono sicura, verifico un caso più estremo di quello osservato, ad esempio x=4 e ripetendo Bernoulli ottengo p=0.156. Questo 0.156 rappresenta la p di ottenere un valore più estremo di quello osservato ed è la p di rifiutare Ho quando è vera, cioè è l'errore di primo tipo cioè la significatività del test! E' giusto questo ragionamento?
Poi, l'errore di 2 tipo è "non rifiutare Ho quando Ho è falsa". Per trovarlo sono partita dal valore di p in caso di verità di H1, nel nostro caso è p=0.8. Da qui ho calcolato sempre con Bernoulli la p di ottenere 3 volte testa su 5 lanci in caso di moneta non equa (p=0.8) ottenedno p=0.205.
Ho seguito quindi lo stesso ragionamento di prima cioè ho calcolato la p di ottentere 3 vlte T su 5 lanci con moneta non equa in un caso più estremo (es.x=4) e la probabilità ottenuta è 0.041. Infine 1-0.041=0.959 e questa è la potenza del test.
Dove sbaglio?
Risposte
Non è chiaro il testo forse?
Qualcuno sa darmi una dritta o dirmi se il ragionamento che ho fatto è più o meno esatto?
Ve ne sarei grata...
Qualcuno sa darmi una dritta o dirmi se il ragionamento che ho fatto è più o meno esatto?
Ve ne sarei grata...
Ok, senza guardare a quello che ho fatto io che magari è completamente errato, voi come fareste a risolvere questo caso?
Ho bisogno di un aiuto...
Ho bisogno di un aiuto...
Il tuo ragionamento, in termini intuitivi, non è del tutto sbagliato ma credo si debba procedere così:
l'esperimento consiste in $5$ lanci indipendenti ed indico con $N$ il numero di teste
rifiuti la nulla se $N>=4$
1) ragionando sotto l'$Ho$ abbiamo che $p=0,5$
devi fare $P(N>=4)$ ed hai il livello di significatività implicito del test ovvero l'errore del primo tipo
mentre $1-P(N>=4)$ è il livello di significatività o anche (se non sbaglio) dimensione del test
2)conoscendo la "verità" possiamo fare i conti con $p=0,8$
allora calcoli $P(N<=3)$ ed ottieni l'errore del secondo tipo
da cui trovi $1-P(N<=3)$ che rappresenta la potenza del test
l'esperimento consiste in $5$ lanci indipendenti ed indico con $N$ il numero di teste
rifiuti la nulla se $N>=4$
1) ragionando sotto l'$Ho$ abbiamo che $p=0,5$
devi fare $P(N>=4)$ ed hai il livello di significatività implicito del test ovvero l'errore del primo tipo
mentre $1-P(N>=4)$ è il livello di significatività o anche (se non sbaglio) dimensione del test
2)conoscendo la "verità" possiamo fare i conti con $p=0,8$
allora calcoli $P(N<=3)$ ed ottieni l'errore del secondo tipo
da cui trovi $1-P(N<=3)$ che rappresenta la potenza del test
Grazie!!!
Non ho capito però che differenza c'è tra "livello di significatività implicito" e livello di sognificatività del test...Il testo mi dice di trovare il valore del livello di significatività, ed è $ alpha $ oppure $ 1-alpha $ ?
Io so che $ alpha $ è la probabilità dell'errore del primo tipo o significatività del test quindi avrei optato per questo, ed è la probabilità di rifiutare H0 quando essa è vera, giusto? E nel mio caso è 0.187.
Comunque grazie mi sei stao di grande aiuto.
Non ho capito però che differenza c'è tra "livello di significatività implicito" e livello di sognificatività del test...Il testo mi dice di trovare il valore del livello di significatività, ed è $ alpha $ oppure $ 1-alpha $ ?
Io so che $ alpha $ è la probabilità dell'errore del primo tipo o significatività del test quindi avrei optato per questo, ed è la probabilità di rifiutare H0 quando essa è vera, giusto? E nel mio caso è 0.187.
Comunque grazie mi sei stao di grande aiuto.
Il livello di significatività è $alfa=P(N>=4)$ e si interpreta come tu dici ovvero prob. di commettere un'errore
del primo tipo.
Io lo ho chiamato livello di significatività implicito perché tipicamente in un test tale livello
è a scelta dell'utilizzatore. In questo caso particolare ragioniamo in base al numero di teste ed allora $alfa$
dipende da tale scelta e, quindi, non è scelto direttamente.
In ogni caso la sostanza non cambia
del primo tipo.
Io lo ho chiamato livello di significatività implicito perché tipicamente in un test tale livello
è a scelta dell'utilizzatore. In questo caso particolare ragioniamo in base al numero di teste ed allora $alfa$
dipende da tale scelta e, quindi, non è scelto direttamente.
In ogni caso la sostanza non cambia
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