Teoria sull'"accumulo delle probabilità"

[kobeilprofeta]

Ciao a tutti, avrei bisogno del parere di gente che, indubbiamente, ne sa più di me riguardo alla matematica. Io ho sempre un idea in mente sulle probabilità che i miei amici non approvano. Dato che non sarebbe la prima volta che credo di aver scoperto qualcosa di nuovo e mi accorgo successivamente che altra gente prima di me ci aveva già pensato; mi sapreste dire se esiste un pensiero molto simile al mio?
Ciò che segue l'ho scritto io, spero di essere chiaro:

TEORIA SULL' ACCUMULO DELLE PROBABILITÀ

È una teoria che matematicamente è molto semplice ed elementare, ma che in pratica non molte persone l'accettano.
La teoria dell' accumulo delle probabilità dice semplicemente che data una frequenza di avvenimento di qualcosa, allora nel periodo appena antecedente a quello che interessa a noi, allora conviene un non-avvenimento dell'evento per poi alzare la prababilità che avvenga nel periodo desiderato da noi.
La formula che la spiega è la seguente:

FE x TE - F1 x T1 = F2 x T2

Dove FE rappresenta la frequenza media dell'esempio
TE gli eventi totali (es. Tiri totali)
F1 la frequenza dimostrata all'inizio
T1 gli eventi nei quali si é dimostrata F1
T2= Te-T1
F2 o Y la frequenza che si mostrerà nel futuro (cioé ció che cerchiamo)

Faró comunque un esempio per far comprendere meglio la teoria:

Es.1:
Consideriamo un giocatore di basket prima di una partita. In quel giorno (perchè magari in altri giorni la percentuale cambierà) è un tiratore da 3 punti del 35%, cioè in quella giornata è portato a segnare il 35% dei tiri che tirerà.
Questo giocatore farà 6 tiri in partita.
Consideriamo inoltre tre possibilità: 
1)non fa tiri di riscaldamento prima della partita
2)ne fa 4 e ne segna 2
3)ne fa 4 e li sbaglia tutti;

 Ora analizziamole:

1) 
Tira 6 volte e risulta che in partita tirerà con il 35% e farà 2,1 canestri
2) 
Applicando la formula risulta:
35/100 (frequanza realizzazione totale) x 10 (4 riscaldamento + 6 partita) - 50/100 (frequenza realizzazione allenamento) x 4 (tiri allenamento) = Y (ció che dobbiamo trovare cioè la frequenza con cui tirerà in partita) x 6 (tiri che farà in partita)
Quindi
35/100x10 - 50/100x4 = 6Y
1,5 = 6 Y
Y= 0,25
Quindi in partita tirerà con il 25% che su 6 tiri cirrisponde a 1,5 canestri.
3)
35/100x10 - 0x4 = 6Y
3,5 = 6Y
Y= 0,58*3
Quindi in partita tirerà circa con il 58% che su 6 tiri corrisponde a 3,5 canestri. 


Capite benissimo, anche grazie a questo esempio, che conviene sbagliare i tiri prima di una partita, peró occhio a fare i tiri di riscaldamento perchè segnando in maniera superiore alla vostra media di tiro abbassereste le vostre percentuali in partita.
Infatti:
Senza riscaldamento fai 2,1 canestri
Segnandone 2 su 4 nel riscaldamento farai 1,5 canestri ( si abbassa)
Mentre sbagliandone tutti i tiri di riscaldamento farai 3,5 canestri (bel miglioramento, no?!).
Quindi ricordatevi che se provi a tirare e non segni, in realtà è un segnale positivo e non negativo.
Comunque vorrei sottolineare, per chi non lo avesse capito, che non servirebbe a niente sbagliarli apposta i tiri perchè le percentuali si riferiscono a tiri eseguiti correttamente e con l'intento di segnare.
Ció significa che la teoria dell'accumulo delle probabilità non è applicabile dal soggetto stesso

La critica piu frequente si basa sull'idea di certa gente che la % con cui tirerà in partita (solito esempio) dipende solo dalla sua bravura; ma il fatto è che in ogni caso, che lo sappiano o no, tirerà con una determinata % nell'arco della giornata. 

Ci sono molteplici applicazioni di questa teoria e ora faró un altro esempio, casualmente, sempre riguardante lo sport:

Consideriamo una squadra di basket molto forte e che di media vince circa 3 partite ogni 4 giocate. Siamo all' ottava giornata (cioè la squadra ha già giocato 7 partite), consideriamo nuovamente tre diversi casi:

1) Ha vinto 5 partite su 7
2) ha vinto 6 partite su 7
3) le ha vinte tutte 7

{per comodità non consideriamo il fatto che ne possa vincere meno di 5 perchè altrimenti non potrebbe raggiungere la % attesa nelle successive tre partite che consideriamo}

Allora, consideriamo le prime 10 partite del campionato: con il 75% (3/4) di vittorie attese ne dovrebbe vincere 7,5 partite.

Mettiamo che una persona debba indovinare se l'ottava partita verrà vinta o persa dalla squadra; la maggior parte della gente sarebbe più convinta a puntare su una vittoria nel caso in cui le abbia vinte tutte, pensando che risulti più forte o più in forma. Ora io vi invito ad un ragionamento matematico usando la mia formula:

Dividiamo in casi:

1) 75/100 x 10 - 5/7 x 7 = Y x 3
2,5 = Y x 3
Y= 83,*3%

2) 75/100 x 10 - 6/7 x 7 = Y x 3
1,5 = Y x 3
Y= 50%

3) 75/100 x 10 - 7/7 x 7 = Y x 3
0,5 = Y x 3
Y= 16,*6%

Ecco fatto, analizziamo le tre situazioni:
Quando ne ha vinte 5 su 7 avrà più dell' 80% di probabilità di vincere l' ottava;
Nel caso ne vinca 6 su 7 avrà il 50% di vincere l' ottava partita.
E, infine, nel caso in cui le vinca tutte e sette avrà poco più del 15% di probabilità di vincere la successiva.



PS. Ovviamente le % considerate sono approssimative e si considera ció che dovrebbe accadere e non obbligatoriamente; per esempio quando c'è il 25% e dopo tre è ancora a 0, non è sicuro che debba succedere il quarto, ma noi consideriamo la frequenza che ci si attende che dovrebbe risultare.

Detto questo io invito a riflettere prima di dire: "vince sempre, allora..." Oppure: " succede sempre, quindi..."

Questa è la mia spiegazione matematica.



Sia che esista già un pensiero conosciuto (cosa che penso), sia che non l'abbiate mai sentita prima , mi potreste dire cosa ne pensate??
Grazie...

[PZf]

Questo discorso è molto simile alla fallacia dello scommettitore.

[kobeilprofeta]

Ecco, ciò che mi hai linkato è esattamente in contrasto con ciò che ho scritto e che penso io. Leggendo mi è venuto in mente un paradosso sul lancio delle monete che ho letto su un libro, il paradosso dice così:
" Lanciamo una moneta ripetutamente fino a ottenere due volte testa (TT) o testa e poi croce in successione (TC). Ovviamente le probabilità che TT esca prima di TC sono uguali a quelle che TC esca prima di TT. Infatti dopo il primo lancio che dia T un'altra T o una C sono ugualmente probabili.
Ma è più facile che si ottenga TC piuttosto che TT. La prima combinazione occorre una volta ogni cinque tiri, la seconda soltanto ogni sei.

Qualcuno sa spiegarmelo o dirmi qualcosa al riguardo?
Posso trovare una spiegazione su internet?

[PZf]

"kobeilprofeta":
Ma è più facile che si ottenga TC piuttosto che TT. La prima combinazione occorre una volta ogni cinque tiri, la seconda soltanto ogni sei.

1. Puoi andare più nel dettaglio nella spiegazione di questa affermazione?

2. Come conteggi le occorrenze di TC e TT nella seguente sequenza? TTTTC

[kobeilprofeta]

Il fatto sta che prima o poi dovrà uscire una T e quindi noi consideriamo solo l'evento dopo la prima T e può uscire solo TT o TC. Quindi la tua sequenza non ha senso nel paradosso perchè verrebbero considerate solo le prime due T. Infatti dopo la prima T (primo tiro) il tiro dopo è uscito T, quindi la sequenza in quel caso sarebbe TT e il problema sarebbe finito dopo due lanci e non ci sarebbe bisogno di fare gli altri due.
Ps) non ho capito cosa devo spiegare meglio...

[kobeilprofeta]

Inoltre con questa frase che ho scritto prima:
"La critica piu frequente si basa sull'idea di certa gente che la % con cui tirerà in partita (solito esempio) dipende solo dalla sua bravura; ma il fatto è che in ogni caso, che lo sappiano o no, tirerà con una determinata % nell'arco della giornata. " io intendo smentire la critica di: http://it.m.wikipedia.org/wiki/Fallacia ... mmettitore
Che dice: "La fallacia dello scommettitore è un errore logico che riguarda l'errata convinzione che eventi occorsi nel passato influiscano su eventi futuri "

Non è possibile, visti anche i calcoli che ho fatto per dimostrare che in tal modo la % attesa nella giornata si mantenga, che abbia ragione io??

[PZf]

Sulla sequenza TTTTC che ho scritto torneremo in seguito solo se sarà necessario.

La cosa che vorrei chiarire è perché affermi che TC occorre una volta ogni 5 tiri, mentre TT una volta ogni 6.

[PZf]

Domanda: ricevi da me una moneta equa e ti dico di tirarla 10 volte, supponiamo che ottieni 7 volte testa e 3 volte croce, ora ti chiedo, quanto vale la probabilità che ora, all'11° lancio, esca testa?

------

Dopo che mi rispondi ti rivelo che prima di consegnarti la moneta io stesso l'avevo lanciata 10 volte e avevo ottenuto 3 volte testa e 7 volte croce. Hai quindi sbagliato la tua risposta prima? Non ti sembra insensato pensare che la risposta che mi avevi dato prima era sbagliata solo perché io avevo lanciato la moneta prima di dartela?

[kobeilprofeta]

Sulla storia del lancio drlla moneta io credo che ci pissano esaere due teorie diverse e nessuna delle due sbagliata. Infatti io riconosco che indipendentemente dal fatto che sia uscita 7 volte T e 3 volte C, nell'undicesimo lancio hanno le stesse probabilità di uscire. Ma quello che sto facendo io non è un discorso di scaramanzia o robe del genere, faccio semplicemente questo calcolo (dimmi che passaggio sbaglio secondo te):
In ogni lancio ho 0,5 che esca testa e 0,5 croce.
Quindi su 10 lanci DOVREBBERO uscire 5 T e 5 C
Su 20 lanci DOVREBBERO uscire 10 T e 10 C
...
Se ho già fatto 10 lanci e sto a 7 T e 3 C
Negli altri 10 DOVREBBERO USCIRE 3 T e 7 C (in questo modo si rispetta la probabilità prestabilita: 0,5)
Quindi nell'undicesimo lancio c'è più probabilità che esca C (7/10) rispetto a T (3/10)
Ho notato io stesso che se il ragionamento si fa con 30 lanci le % cambiano:
Infatti, dovranno uscire ancora 8 T e 12 C
E le probabilità dell'undicesimo lancio diventano (2/5) per T e (3/5) per C
Ma in ogni caso rimarrà sempre più probabile l'avvenimento meno accaduto fino a quel momento

[PZf]

"kobeilprofeta":
Negli altri 10 DOVREBBERO USCIRE 3 T e 7 C (in questo modo si rispetta la probabilità prestabilita: 0,5)
Quindi nell'undicesimo lancio c'è più probabilità che esca C (7/10) rispetto a T (3/10)
Ho notato io stesso che se il ragionamento si fa con 30 lanci le % cambiano:
Infatti, dovranno uscire ancora 8 T e 12 C
E le probabilità dell'undicesimo lancio diventano (2/5) per T e (3/5) per C

Mi pare di capire che sei cosciente che dunque c'è qualcosa che non va nel ragionamento.
Le probabilità nell'11° lancio non possono dipendere dal fatto che hai deciso di fare 20 lanci piuttosto che 30, la moneta "non lo sa" se vuoi lanciarla 20 o 30 volte.

"kobeilprofeta":
Quindi su 10 lanci DOVREBBERO uscire 5 T e 5 C
Su 20 lanci DOVREBBERO uscire 10 T e 10 C
...
Se ho già fatto 10 lanci e sto a 7 T e 3 C
Negli altri 10 DOVREBBERO USCIRE 3 T e 7 C (in questo modo si rispetta la probabilità prestabilita: 0,5)

Proverò a ripetere un discorso che ho fatto in un altro thread in cui alla fine si è concluso quando ci si è accorti che il problema risiedeva nel fatto che l'OP non "intuiva" in modo corretto il funzionamento delle probabilità condizionate.
Non dico che matematicamente non conosci cosa è una probabilità condizionata (ho l'impressione che la preparazione matematica richiesta non ti manchi), dico solo che probabilmente è il tuo intuito che la percepisce in un modo un po' diverso.


Dici che su 20 lanci dovrebbero uscire, circa, 10 teste e 10 croci, e ciò è corretto.
Ora immagina di fare un elenco di tutte le possibili configurazioni di questi 20 lanci. Mediamente le configurazioni contengono 10 teste e 10 croci, ma esiste una configurazione con 0 teste, 20 configurazioni con 1 testa, 190 con 2 teste, e così via...

Quando dici che hai già fatto 10 lanci e ti sono capitate 7 teste e 3 croci l'insieme di configurazioni che stai prendendo sotto esame non è più l'intero elenco di tutte le configurazioni possibili di 20 lanci, ma è un insieme ristretto. L'insieme che stai esaminando ora è l'elenco di tutte le configurazioni di 20 lanci aventi in comune il fatto che fra i primi 10 lanci ci sono 7 teste e 3 croci. L'insieme non è più quello di partenza in cui la media (dell'intero insieme) dava 10 teste e 10 croci. Nell'insieme ristretto che stai considerando ora in media avrai un 12 teste e 8 croci. Ciò perché il numero di teste e croci è fissato per i primi 10 lanci, mentre le configurazioni dei successivi 10 lanci possono variare in tutta libertà.

[kobeilprofeta]

Mi è piaciuta molto questa risposta che mi hai dato, perche mi ha fatto ragionarevsu tutte le possibili combinazioni (0,20 1,19 19,1 20,0 11,9 10,10)... E ho naturalmente pensato che non tutte sono probabili allo stesso modo (credo che se i due eventi hanno 0,5 di probabilita, come nel nostro caso, credo che sia piu probabile che esca 10,10 piuttosto che 0,20,no?), quindi oggi proverò a fare un calcolo calcolando le probabilità che esca ognuna delle coppie possibili (17,3 16,4 7,13...) e poi calcolare tramite ciascuna coppia {cioè numero totale di T, numero totale di C} la probabilità che all'undicesimo lancio esca T o C... Probabilmene questo mio calcolo mi porterà a capire che avranno cmq 0,5 entrambe e che quindi mi sbagliavo... In ogni caso, secondo te è giusto il calcolo che intendo fare??

Ps)
Ti pubblicherò in ogni caso i miei risultati...

[PZf]

"kobeilprofeta":Mi è piaciuta molto questa risposta che mi hai dato, perche mi ha fatto ragionarevsu tutte le possibili combinazioni (0,20 1,19 19,1 20,0 11,9 10,10)... E ho naturalmente pensato che non tutte sono probabili allo stesso modo (credo che se i due eventi hanno 0,5 di probabilita, come nel nostro caso, credo che sia piu probabile che esca 10,10 piuttosto che 0,20,no?)

E' corretto

"kobeilprofeta":quindi oggi proverò a fare un calcolo calcolando le probabilità che esca ognuna delle coppie possibili (17,3 16,4 7,13...) e poi calcolare tramite ciascuna coppia {cioè numero totale di T, numero totale di C} la probabilità che all'undicesimo lancio esca T o C... Probabilmene questo mio calcolo mi porterà a capire che avranno cmq 0,5 entrambe e che quindi mi sbagliavo... In ogni caso, secondo te è giusto il calcolo che intendo fare??

Ps)
Ti pubblicherò in ogni caso i miei risultati...

Il calcolo che vuoi fare è piuttosto lungo. Se proprio vuoi toglierti il dubbio fai pure. Farti aiutare da un semplice programmino informatico non sarebbe una cattiva idea.

In ogni caso se vuoi calcolare la probabilità che esca T all'11° lancio, dopo aver ottenuto 7 teste e 3 croci nei primi 10 lanci, allora devi fare attenzione quando calcoli la probabilità che esca una certa coppia di tener conto di ciò.
Ad esempio, la probabilità che ti esca la coppia (0,20) è nulla, dato che nella sequenza di 20 lanci ormai 7 teste sono già uscite. Analogamente la coppia (7,13) può presentarsi solo in un caso (dall'11° lancio in poi escono tutte croci), la coppia (8,12) in 10 casi, ecc... (ho visto che le coppie che consideri partono da 17,3 e arrivano a 7,13 quindi credo che ti sei già accorto di questo fatto).

Una volta che calcoli le probabilità di tutte e 20 le possibili coppie (di cui 10 ti risulteranno con probabilità 0) e svolgerai tutte le medie ritroverai che all'11° lancio la probabilità che esca testa è 0.5.

[kobeilprofeta]

Ho fatto la mia dimostrazione (ci ho messo un po', ma eccola):

Dopo i primi 10 lanci con 7 T e 3 C, le combinazioni possibili (totale t, totale c dopo 20 lanci) sono:
7-13, 8-12, 9-11, 10-10, 11-9, 12-8, 13-7, 14-6, 15-5, 16-4, 17-3
Per semplificare un attimo i calcoli, prendiamo in considerazione le varie possibilità rispetto al numero di T che usciranno ancora (cioè 0T---> 7-13; 7T--->  14-6). 
Possono quindi uscire da 0 a 10 T.
Possono essere calcolate "a coppie", cioè la probabilità che esca 10 volte per esempio è uguqle a quella che esca 0 volte; quindi:
0,10: 1/2^10= 1/1024
1,9: 1/1024*10 (che sono le occasioni in cui può uscire l'unica T, o C, cioè all'undicesimo lancio, al dodicesimo, ecc...) = 10/1024
2,8: 1/1024* 10!/8!/2! (calcolo combinatorio, possibili coppie di lanci in 10 lanci) = 45/1024
3,7: 1/1024* 10!/7!/3! = 120/1024
4,6: 1/1024* 10!/6!/4! = 210/1024
5: 1/1024* 10!/5!/5! = 252/1024

Da ció risulta: (totale T-totale C probabilità che avvenga/1024 probabilità che l'undicesimo lancio sia T/10)

7-13 1 0
8-12 10 1
9-11 45 2
10-10 120 3
11-9 210 4
12-8 252 5
13-7 210 6
14-6 120 7
15-5 45 8
16-4 10 9
17-3 1 10


Ecco, ora credo che, per calcolare la probabilità totale dell'undicesimo lancio, bisogna sommare tutti i prodotti tra le coppie (es: 120 e 7 o 45 e 8)
Quindi risulta:
(1*0+10*1+45*2+120*3+210*4+252*5+210*6+120*7+45*8+10*9+1*10)/1024/10= 0,5

Ammetto che avevi ragione tu, risulta cmq 0,5... Spero però che la mia dimostrazione ti sia piaciuta e, nel caso ci sia un altro giovane intraprendente che abbia l'idea che ho avuto io, tu gli dimostrerai che si sbaglia con questa dimostrazione che ho fatto io adesso (dato che ci ho messo molto tempo a farla, non avendo a disposizione il computer), magari facendola con 30 lanci al posto di 20, dovrebbe venire ugualmente.... Grazie comunque di avermi "aperto la mente" e spero di risentirci su un altro problema.

Nonostante tutto ció, ammetro però che mi rimarrà sempre un dubbio e la voglia di usare la teoria dell'accumulo delle probabilità (inventata per altro da me)...

[PZf]

La tua dimostrazione è corretta

"kobeilprofeta":Ammetto che avevi ragione tu, risulta cmq 0,5... Spero però che la mia dimostrazione ti sia piaciuta e, nel caso ci sia un altro giovane intraprendente che abbia l'idea che ho avuto io, tu gli dimostrerai che si sbaglia con questa dimostrazione che ho fatto io adesso (dato che ci ho messo molto tempo a farla, non avendo a disposizione il computer), magari facendola con 30 lanci al posto di 20, dovrebbe venire ugualmente.... Grazie comunque di avermi "aperto la mente" e spero di risentirci su un altro problema.

Non ti preoccupare, se dovesse capitare posso semplicemente linkare questo stesso thread, così verrà letta direttamente la tua dimostrazione.

"kobeilprofeta":Nonostante tutto ció, ammetro però che mi rimarrà sempre un dubbio e la voglia di usare la teoria dell'accumulo delle probabilità (inventata per altro da me)...

Non è raro che problemi di statistica risultino difficili da affrontare a livello intuitivo.
Ma sono sicuro che ora che ci hai ragionato su, questi dubbi spariranno con l'esperienza.

[kobeilprofeta]

Riguardo al discorso di prima sul paradosso del lancio della moneta provo ora a vedere se è vero che esce di più tc di tt (non lo so neanch'io, lo sto provando per la prima volta qua in questo momento).
Per non essere troppo lungo, considero solo i primi 5 lanci:
Se le prime due sono TT, allora in ognuno degli altri 2^3=8 casi è TT
Stessa cosa, se le prime due sono TC, negli altri 8 casi sarà sempre TC
Continuo a considerare i primi due lanci, per poi verificare gli 8 casi che completano i 5 lanci
Prime due CT, allora se la terza è T per 4 casi è TT (tot.12); se la terza è invece C per 4 casi sarà TC (tot.12)
Prime due CC, in questo caso si considerano gli altri 3 lanci partendo da zero:
CCC: nè TT (tot.12) nè TC (tot.12)
CCT: nè TT (tot.12) nè TC (tot.12)
CTC: TC (tot.13)
CTT: TT (tot.13)
TCC: TC (tot.14)
TCT: TC (tot.15)
TTC: TT (tot.14)
TTT: TT (tot.15)

Mi risulta uguale, non capisco perchè il libro dicq che sca di piu TC...

[PZf]

Credo che il libro intendesse che data una stringa di teste e croci, tipo TTTTCCTTTCTCCTCCC..., al suo interno trovi più spesso TC che TT, per questo prima ti proponevo di analizzare la stringa TTTTC. Credo che l'inghippo sia nel metodo (fallace) con cui si analizza una tale stringa.

Secondo me il libro, nella stringa TTTTC, leggerebbe due volte TT e una volta TC, mentre sarebbe corretto contare tre volte TT e una volta TC. Se è così come penso allora si avrebbe effettivamente l'impressione che TC capitasse più spesso di TT, ma invece che un paradosso si tratterebbe solo di un errore.

[kobeilprofeta]

Innanzitutto ti volevo corregere sull'esempio che mi hai portato tu dei nove lanci con nove teste consecutive. Il fqtto che tu hai sbagliato la formula, essa sarebbe così:
FE x TE - F1 x T1 = F2 x T2
Quindi sostituendo i valori in questione, nei successivi 10 lanci la probabilità che esca croce è di:
0,5 x 19 - 0 x 9 = Y x 10
Da cui Y=0,95
È ovvio che devi prendere un valore per T2 che abbia la possibilità, anche in caso estremo, di verificare FE... Ok?
Cmq, detto questo, ammetto comunque (e l'ho già detto!) che mi sbagliavo io MOLTO probabilmente, e ho detto semplicemente che mi verrá sempre da pensare alla "fallacia dello scommettitore", ricordandomi questa teoria che mi sono completamente inventato io (con tanto di formula)...

[kobeilprofeta]

sergio, se dici che la mia è una formula del cavolo perchè funziona solo con alcuni valori di T2, ti do ragione.
Ti volevo però far notare una cosa: tu dici che T2 è in funzione di Te e T1 perche si ottiene come differenza di questi due. In realtà è TE in funzione di T1 e T2 perche tu sai i" tiri" che hai fatto prima e quelli che hai intenzione di considerare successivamente e poi fai la somma e trovi TE; detto ciò ho comunque notato che è sbagliata grazie al ragionamento che mi hanno fatto seguire in precedenza...

[kobeilprofeta]

Ascolta, mi ha fatto piacere confrontarmi con te... Non ci siamo ancora presentati:
Io sono Andrea, ho 16 anni e sono ancora studente
Ps) se ti va potresti darmi una tua opinione anche su questo? algoritmo-per-calcolo-radice-quadrata-a-mente-t103643.html grazie...

[Rggb1]

"Sergio":Vedrai che ti divertirai: la probabilità è un campo estremamente affascinante.

Non posso far altro che sottoscrivere (ed evidenziare).