Teoria Ergodica
Ciao A tutti!
Volevo sapere se qualcuno di voi conosce un buon libro (o delle note di qualche corso) sulla teoria ergodica.
Perchè io ho il seguente problema che vorrei capire più a fondo:
Supponiamo che $(Y_n, Q)$ sia un processo ergodico, allora possiamo considerare la sua entropia assoluta
$H(Q)=-\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N} E_Q[\log(Q((Y_1,...,Y_N))]$
Non capisco perchè questa quantità è ben definita. Ho cercato di riportarmi al teorema ergodico, ma con scarsi risultati, quindi volevo chiedere se qualcuno conosce delle referenze su cui posso andare a studiare questi dettagli.
Grazie a tutti!
Volevo sapere se qualcuno di voi conosce un buon libro (o delle note di qualche corso) sulla teoria ergodica.
Perchè io ho il seguente problema che vorrei capire più a fondo:
Supponiamo che $(Y_n, Q)$ sia un processo ergodico, allora possiamo considerare la sua entropia assoluta
$H(Q)=-\lim_{N\to+\infty}\frac{1}{N} E_Q[\log(Q((Y_1,...,Y_N))]$
Non capisco perchè questa quantità è ben definita. Ho cercato di riportarmi al teorema ergodico, ma con scarsi risultati, quindi volevo chiedere se qualcuno conosce delle referenze su cui posso andare a studiare questi dettagli.
Grazie a tutti!
Risposte
Ho trovato la soluzione.
Per chi interessasse, questo è un teorema non banale che va sotto il nome di "Shannon-McMillan-Breiman Theorem". In particolare si dimostra che $\frac{1}{N}\logQ(Y_1,...,Y_N)$ converge verso $-H(Q)$ sia q.c. che in $L^1$.
Analoghi risultati valgono se si considera l'entropia relativa.
Per chi interessasse, questo è un teorema non banale che va sotto il nome di "Shannon-McMillan-Breiman Theorem". In particolare si dimostra che $\frac{1}{N}\logQ(Y_1,...,Y_N)$ converge verso $-H(Q)$ sia q.c. che in $L^1$.
Analoghi risultati valgono se si considera l'entropia relativa.
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