Teoria della stima - delucidazioni su alcuni esercizi
Ciao a tutti, mi trovo in difficoltà con alcuni esercizi di questo corso dal momento che (dei pochi forniti nelle dispense) non si riporta la soluzione (nè tantomeno un metodo).
Il primo esercizio che mi vede in difficoltà è il seguente:
Si consideri per $\theta in [-2,2]$ la funzione definita da
$f^(\theta)(x)=\{(\theta x +1-\theta/2 \ \se\ x in [0,1]),(0 \ \a\l\t\r\i\m\e\n\t\i):}$
a) Mostrare che per ogni $\theta in [-2,2]$, $f^(\theta)$ è una densità di probabilità.
b) Sia y una variabile aleatoria di densità $f^(\theta)$. Calcolare in funzione di $\theta$ media e varianza di y.
c) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di $\theta$ basata su una osservazione y della variabile aleatoria y.
Partiamo.
a) Perchè sia una PDF deve valere che $\int_{-oo}^{+oo} f^(\theta)(x) dx=1 \ \ AA \theta$ e che $f^(\theta)(x)>=0 \ \ AA \theta$
$\int_{-oo}^{+oo} f^(\theta)(x) dx = \int_{0}^{1} (\theta x +1-\theta/2) dx = \theta(x^2)/2|_0^1 +x|_0^1 -\theta/2x|_0^1=1 \ \ AA \theta$
$\theta x +1-\theta/2>=0$ si prova facilmente
b) $\bar(y)=\int_{-oo}^{+oo} yf^(\theta)(y) dy=\int_{0}^{1} y(\theta y +1-\theta/2)dy = (\theta+6)/12$ ma di questo non sono molto sicuro, infatti poi per la varianza mi sono fermato senza svolgere i calcoli.
Il dubbio vero e proprio arriva ora.
c) La verosimiglianza vale $L(\theta|y)=f_y^(\theta)(y)=\theta y +1-\theta/2$ e $T_(ML)=argmax_\theta(L(\theta|y))$
Quindi impongo che $\frac{\partial}{\partial \theta}L(\theta|y)=0$ ed essendo una sola osservazione ottengo
$y-1/2=0$ ??? E qui non mi trovo, non dovrei avere una espressione di $\theta$ e risolverla?
Il primo esercizio che mi vede in difficoltà è il seguente:
Si consideri per $\theta in [-2,2]$ la funzione definita da
$f^(\theta)(x)=\{(\theta x +1-\theta/2 \ \se\ x in [0,1]),(0 \ \a\l\t\r\i\m\e\n\t\i):}$
a) Mostrare che per ogni $\theta in [-2,2]$, $f^(\theta)$ è una densità di probabilità.
b) Sia y una variabile aleatoria di densità $f^(\theta)$. Calcolare in funzione di $\theta$ media e varianza di y.
c) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di $\theta$ basata su una osservazione y della variabile aleatoria y.
Partiamo.
a) Perchè sia una PDF deve valere che $\int_{-oo}^{+oo} f^(\theta)(x) dx=1 \ \ AA \theta$ e che $f^(\theta)(x)>=0 \ \ AA \theta$
$\int_{-oo}^{+oo} f^(\theta)(x) dx = \int_{0}^{1} (\theta x +1-\theta/2) dx = \theta(x^2)/2|_0^1 +x|_0^1 -\theta/2x|_0^1=1 \ \ AA \theta$
$\theta x +1-\theta/2>=0$ si prova facilmente
b) $\bar(y)=\int_{-oo}^{+oo} yf^(\theta)(y) dy=\int_{0}^{1} y(\theta y +1-\theta/2)dy = (\theta+6)/12$ ma di questo non sono molto sicuro, infatti poi per la varianza mi sono fermato senza svolgere i calcoli.
Il dubbio vero e proprio arriva ora.
c) La verosimiglianza vale $L(\theta|y)=f_y^(\theta)(y)=\theta y +1-\theta/2$ e $T_(ML)=argmax_\theta(L(\theta|y))$
Quindi impongo che $\frac{\partial}{\partial \theta}L(\theta|y)=0$ ed essendo una sola osservazione ottengo
$y-1/2=0$ ??? E qui non mi trovo, non dovrei avere una espressione di $\theta$ e risolverla?
Risposte
a) e b) sono già corretti.
"lawrencetb":
Il dubbio vero e proprio arriva ora.
c) La verosimiglianza vale $L(\theta|y)=f_y^(\theta)(y)=\theta y +1-\theta/2$ e $T_(ML)=argmax_\theta(L(\theta|y))$
Quindi impongo che $\frac{\partial}{\partial \theta}L(\theta|y)=0$ ed essendo una sola osservazione ottengo
$y-1/2=0$ ??? E qui non mi trovo, non dovrei avere una espressione di $\theta$ e risolverla?
Se $y-1/2>0$ -> \(\displaystyle \theta=2 \)
Se $y-1/2<0$ -> \(\displaystyle \theta=-2 \)
Ciao ti ringrazio, potresti essere più chiaro?
Se $y-1/2>0$, la \(\displaystyle \frac{dL}{d\theta} \) è positiva per ogni valore di \(\displaystyle \theta \) ma \(\displaystyle \theta \) deve essere minore di 2. Dunque la miglore stima è 2.
"wnvl":
Dunque la miglore stima è 2.
Non capisco come fai a dire qualcosa su $theta$ se la derivata parziale non dipende da lei
Un altro esempio:
\(\displaystyle f(x)=2x \)
\(\displaystyle \frac{df(x)}{dx}=2 \)
La derivata non dipende da x, ma posso dire che f(x) cresce se x cresce.
\(\displaystyle f(x)=2x \)
\(\displaystyle \frac{df(x)}{dx}=2 \)
La derivata non dipende da x, ma posso dire che f(x) cresce se x cresce.
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