Teoria della probabilità

[Ahimsa1]

Ciao a tutti, c'é una dimostrazione che non riesco a fare, pur non sembrandomi particolarmente complicata. Mi serve perché sto preparando un esame, perciò se qualcuno mi può dare una mano gliene sarei grata.

Questo il problema:
Dato uno spazio di probabilità (X,C,P), dove C é la sigma-algebra su X e P la probabilità, e una collezione qualsiasi di insiemi {An}n in R, dimostrare le seguenti disuguaglianze:

1) P(liminf(An))< liminf(P(An)) per n->infinito
2) limsup(P(An))< P(limsup(An)) per n->infinito

(oss. le disuguaglianze non sono strette, ma non riuscivo a fare il simbolo di minore o uguale)

Grazie!
Ahimsa

[Angelo210]

Ponendo A'n = intersezione di An,An+1,An+2,...., si ottiene una successione non decrescente di insiemi e inoltre risulta,
liminf(An) = A' = A'1 U A'2 U .... = lim A'n.
Dalla continuità verso l'alto della misura P segue che,

P(A') = lim P(A'n) = sup P(A'n) <= sup P(An) = e'n,

da cui passando al limite per n tendente all'infinito, si deduce,

P(A') <= liminf P(An) che è la 1).

Analogamente si dimostra la 2).




Angelo