[Teoria dei Segnali] PDF f_(xy) e f_x

[enzialdiff]

Salve a tutti , l'esercizio che mi sta dando problemi è il seguente:
Si supponga che le variabili aleatorie $X Y$ e$ Z$ abbiano la seguente pdf:

$f_(xyz)= \{(k, se \ x^2+y^2+z^2<=1),(0, \text{altrimenti}):}$

a) Determinare il valore di $ K$
b) determinare le pdf $f_(xy)$ e $f_x$
c) stabilire se le variabili aleatorie sono indipendenti.

il punto a) si risolve usando la relazione $\int_(-infty)^(+infty) int_(-infty)^(+infty) int_(-infty)^(+infty)\ f_(xyz) \dx \dy \dz = \1$

Usando le coordinate sferiche ed integrando si ottiene $K=3/(4pi)$

Il punto B

$f_(xy)=\int_(-sqrt(1-x^2-y^2))^(sqrt(1-x^2-y^2)) 3/(4pi) dz $ , ottenendo $f_(xy)=3/(2pi)sqrt(1-x^2-y^2)$

Per trovare $f_x$ bisogna risolvere l'integrale doppio in $dy dz$ , ma non mi sono chiari gli estremi di integrazione; il libro mi suggerisce: "Nei calcoli per $f_x$ si sfrutti il seguente integrale indefinito$ int sqrt(a^2-y^2) dy = ysqrt(a^2-y^2) /2+ a^2/2 arcsin(y/a)$"

Come potrei risolvere?

Integrando$ f_x=\int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2)) \int_(-sqrt(1-x^2-y^2))^(sqrt(1-x^2-y^2)) 3/(4pi) dy dz $, non arrivo da nessuna parte.

Il risultato è $ f_x=3/4(1-x^2)$

[bassi0902]

Perché non provi a integrare $f_{xy}$ rispetto ad $y$? Se fai cosí hai un integrale del tipo $$\int \frac{3}{2\pi} \sqrt{1-x^2-y^2} dy $$ e , chiamando $a^2 = 1 - x^2 $ puoi usare il suggerimento per risolvere l'integrale.

[enzialdiff]

Con $-sqrt(1-x^2)
$\int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2)) 3/(2pi) sqrt(1-x^2-y^2) dy = \int_(-sqrt(a^2))^(sqrt(a^2)) 3/(2pi) sqrt(a^2-y^2) dy$

quindi:

$f_x(x)=3/(2pi)[ysqrt(a^2-y^2) /2+ a^2/2 arcsin(y/a) ]_(-sqrt(a^2))^(sqrt(a^2))$

$=3/(2pi)[ysqrt(a^2-a^2) /2+ a^2/2 arcsin(sqrt(a^2)/a) - ysqrt(a^2-a^2) /2 - a^2/2 arcsin(-sqrt(a^2)/a) ]$

$=3/(2pi)[a^2/2 arcsin(sqrt(a^2)/a) - a^2/2 arcsin(-sqrt(a^2)/a) ]$

da cui poi

$3/(2pi) (a^2/2)(arcsen(1)-arcsen(-1)) = 3/(2pi) (a^2/2) (pi) = 3/4*(1-x^2)$