Teoremi sulla convergenza di v.a.
Non riesco a capire questi due teoremi:
1)(Teorema di Helly Bray) Se $X_n →_d X_0$ e $g$ e limitata è continua, allora $E[g(X_n)] → E[g(X_0)]$.
Dove la funzione $g$ deve essere limitata e continua? In tutto l'asse dei reali o nella parte relativa all'insieme di definizione?
2)(Teorema di Mann-Wald) Supposto che $g : R → R$ è continua, allora: se $X_n →_d X_0$, allora $g(X_n) →_d g(X_0)$.
Allora per esempio la funzione $g=(X_n - E(X_n))/sqrt(Var(X_n))$, cioè la standardizzazione della variabile aleatoria $X_n$ è una funzione continua, pur dipendendo da $n$ come parametro?
1)(Teorema di Helly Bray) Se $X_n →_d X_0$ e $g$ e limitata è continua, allora $E[g(X_n)] → E[g(X_0)]$.
Dove la funzione $g$ deve essere limitata e continua? In tutto l'asse dei reali o nella parte relativa all'insieme di definizione?
2)(Teorema di Mann-Wald) Supposto che $g : R → R$ è continua, allora: se $X_n →_d X_0$, allora $g(X_n) →_d g(X_0)$.
Allora per esempio la funzione $g=(X_n - E(X_n))/sqrt(Var(X_n))$, cioè la standardizzazione della variabile aleatoria $X_n$ è una funzione continua, pur dipendendo da $n$ come parametro?
Risposte
Ciao Carezzina,
ti ricordo che con $E[g(X_n)]\rightarrow E[g(X)]$ si intende $\int_{R} g(x)dF_n(x)\rightarrow \int_{R} g(x)dF(x)$
Il teorema dice così.
E' difficile applicare un teorema a una funzione che non sia definita.
Il problema potresti averlo se la varianza tendesse a zero, come nel caso di convergenza ad una misura "delta".
Ti lascio questo link:http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/imolina/MiDocencia/MathematicalStatistics/SlidesChapter2ConvConcepts.pdf
Gli esempi 2.10 e 2.11 dovrebbero dare una risposta ai tuoi dubbi.
ti ricordo che con $E[g(X_n)]\rightarrow E[g(X)]$ si intende $\int_{R} g(x)dF_n(x)\rightarrow \int_{R} g(x)dF(x)$
Dove la funzione g deve essere limitata e continua?
Il teorema dice così.
In tutto l'asse dei reali o nella parte relativa all'insieme di definizione?
E' difficile applicare un teorema a una funzione che non sia definita.
la standardizzazione della variabile aleatoria $X_n$ è una funzione continua, pur dipendendo da n come parametro?
Il problema potresti averlo se la varianza tendesse a zero, come nel caso di convergenza ad una misura "delta".
Ti lascio questo link:http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/imolina/MiDocencia/MathematicalStatistics/SlidesChapter2ConvConcepts.pdf
Gli esempi 2.10 e 2.11 dovrebbero dare una risposta ai tuoi dubbi.
Non ho ben capito, anche perché credo di non essermi espressa pienamente...
Io intendevo l'insieme di definizione della successione di variabili aleatorie $X_n$...
In ogni caso ora mi guardo gli esempi, ma quando la $Var(X)=0$, è possibile standardizzare la variabile casuale?
E' difficile applicare un teorema a una funzione che non sia definita.
Io intendevo l'insieme di definizione della successione di variabili aleatorie $X_n$...
In ogni caso ora mi guardo gli esempi, ma quando la $Var(X)=0$, è possibile standardizzare la variabile casuale?
Esempio 2.10
Consideriamo la funzione $g(x) = x$ e la successione di variabili aleatorie data da:
$P(X_n = n) = 1/n" e "P(X_n = 0) = 1 - 1/n$.
$X_n ->_d X$ con X distribuita in 0 con probabilità 1 ma $E [g(X_n)]$ non tende ad $E [g(X)]$. Questo accade perché g non è limitata, infatti:
$E(X)=n*(1/n)+0*(1-1/n)=1$ che tende sempre a 1 e non a $E[g(X)]=0*1=0$.
Tuttavia se consideriamo la funzione continua e limitata $g(x) = cosx$, allora:
$E(X)=cosn*(1/n)+cos0*(1-1/n)=cosn/n+1-1/n$ e $lim_(n->infty)(cosn/n+1-1/n)=1$ e difatti $E[g(X)]=cos0*1=1$
Quindi $g$ deve essere una funzione limitata su tutto $R$?
Consideriamo la funzione $g(x) = x$ e la successione di variabili aleatorie data da:
$P(X_n = n) = 1/n" e "P(X_n = 0) = 1 - 1/n$.
$X_n ->_d X$ con X distribuita in 0 con probabilità 1 ma $E [g(X_n)]$ non tende ad $E [g(X)]$. Questo accade perché g non è limitata, infatti:
$E(X)=n*(1/n)+0*(1-1/n)=1$ che tende sempre a 1 e non a $E[g(X)]=0*1=0$.
Tuttavia se consideriamo la funzione continua e limitata $g(x) = cosx$, allora:
$E(X)=cosn*(1/n)+cos0*(1-1/n)=cosn/n+1-1/n$ e $lim_(n->infty)(cosn/n+1-1/n)=1$ e difatti $E[g(X)]=cos0*1=1$
Quindi $g$ deve essere una funzione limitata su tutto $R$?
Il problema potresti averlo se la varianza tendesse a zero, come nel caso di convergenza ad una misura "delta".
Non riesco a capire bene...ma la varianza non è uguale a 0 solo quando la variabile casuale X è uguale ad un solo valore con probabilità 1? E anche se la varianza tendesse a 0, quale sarebbe il problema? $Y=g(X)=(X_n-E(X_n))/sqrt(Var(X_n))$ non sarebbe una funzione continua?
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