Teorema di trasformazione VS ripartizione

[mobley]

Non capisco perchè se, date $X_|_Y~ Exp(\lambda)$, la distribuzione di $W=X^2$ calcolata con la ripartizione è

$\mathbb(P)(X<=+-\sqrt(w))=2\mathbb(P)[0<=X<=\sqrt(w)]=2\int_0^(\sqrt(w))\lambda e^(-\lambdax)dx=2-2e^(-\lambda \sqrt(w))rArr f_W(w)=\lambda/\sqrt(w)e^(-\lambda \sqrt(w))$

mentre calcolata con la legge di trasformazione è

$f_W(w)=f_X(X(w))|(\partial(X(w)))/(\partial w)|=\lambdae^(-\lambda \sqrt(w))|1/(2\sqrt(w))|=\lambda/(2\sqrt(w))e^(-\lambda \sqrt(w))$

Naturalmente devono coincidere i risultati ma non vedo l'errore.

[ghira1]

Nella prima versione quanto viene $P(X\le\infty)$?

[mobley]

"ghira":Nella prima versione quanto viene $P(X\le\infty)$?

Grazie per la risposta @ghira e scusami se rispondo solo ora ma ho staccato per qualche giorno.

Non ho capito cosa intendi… Potresti spiegarti meglio?

[ghira1]

Calcoli la stessa cosa in due modi. Usando il primo metodo, quanto viene la probabilità che ho chiesto?

[mobley]

"ghira":Viene la probabilità che ho chiesto?

Viene $1$ per definizione di esponenziale.

[ghira1]

Ma nella formula che hai scritto sembra venire 2.

[mobley]

"ghira":Ma nella formula che hai scritto sembra venire 2.

Giusto… $X$ non è definita in $\mathbb(R)^(-)$, quindi $\mathbb(P)(X<=+-\sqrt(w))=\mathbb(P)(X<=\sqrt(w))$. Grazie @ghira!

[ghira1]

Ma già in partenza $\mathbb(P)(X<=+-\sqrt(w))$ è inquietante. Cosa dovrebbe voler dire?