Teorema di Slutsky

[retrocomputer]

Il teorema di Slutsky è sulla convergenza di una funzione (continua) di due variabili aleatorie, una delle quali converge in legge a una costante.

Io mi trovo in questa situazione: ho il prodotto di due variabili $X_n Y_n$ che converge in legge a una variabile $Y$ e so che $Y_n\to 1$ in legge (e quindi in probabilità). E da questo vorrei dedurre che $X_n\to Y$ in legge.

Considererei le due successioni $(X_n Y_n)$ e $(\frac{1}{Y_n})$ e applicherei il teorema al loro prodotto, ma mi sorge un dubbio:

1) se $Y_n\to 1$ in probabilità, posso affermare che anche $\frac{1}{Y_n}\to 1$ in probabilità?
Una dimostrazione applicando la definizione di convergenza in probabilità non la vedo, ma potrei passare attraverso la convergenza quasi certa considerando che la funzione $f(x)=1/x$ non è proprio continua, ma lo è quasi dappertutto... Vale lo stesso che se $X_n\to X$ quasi certamente allora anche $f(X_n)\to f(X)$ quasi certamente?

[retrocomputer]

Grazie Sergio!

Questo lemma di Slutsky (che penso di dovermi abituare a chiamare almeno "Sluuschi", e non "Slaschi" come mi viene di dire ) nei miei appunti è noto come "Esercizio" Lo conosco, ma in questo caso forse non lo potrei applicare perché parla espressamente di funzioni continue.

Tra l'altro mi sconcerta un po' la prima frase del link alla wikipedia, che mi sembra in contraddizione con l'enunciato del teorema di cui parli dopo, il quale, invece, è perfetto per provare quello che serve a me.

Quest'ultimo teorema non è nel mio programma di studi, ma vedo che la dimostrazione è più o meno quello che immaginavo, quindi va bene

[fu^2]

"retrocomputer":Il teorema di Slutsky è sulla convergenza di una funzione (continua) di due variabili aleatorie, una delle quali converge in legge a una costante.

Io mi trovo in questa situazione: ho il prodotto di due variabili $X_n Y_n$ che converge in legge a una variabile $Y$ e so che $Y_n\to 1$ in legge (e quindi in probabilità). E da questo vorrei dedurre che $X_n\to Y$ in legge.

Considererei le due successioni $(X_n Y_n)$ e $(\frac{1}{Y_n})$ e applicherei il teorema al loro prodotto, ma mi sorge un dubbio:

1) se $Y_n\to 1$ in probabilità, posso affermare che anche $\frac{1}{Y_n}\to 1$ in probabilità?

Per quello che ti ha detto Sergio, ma penso lo puoi fare anche a mano in questo caso. no? supponiamo (avendo voglia di fare due conti per la sera) che $X_n\to 1$ in probabilità allora

$P(|X_n-1|\geq \epsilon)\to 0$ sse $E(\frac{|X_n-1|}{1+|X_n-1|})\to 0$(questa è la caratterizzazione più semplice della convergenza in probabilità, che ti dice anche che essa è metrizzabile... questo gioco vale se pensi a una convergenza a una costante in generale, per una convergenza verso una v.a.qualunque bisogna stare un po' più cauti... ). Dunque usando la convergenza q.c. sappiamo che $1/X_n$ se converge converge a $1$.
Dunque $E(\frac{|1/X_n-1|}{1+|1/X_n-1|})=E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})$. A questo punto come concludere? Beh se mostri che $E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\to 0$ e che $|X_n|$ è limitata da una costante q.c. ottieni che $E(\frac{|X_n-1|}{1+|X_n-1|})\to 0$ da cui ottieni la convergenza in probabilità.

Non è un passaggio così immediato, abbiamo bisogno di tirare fuori un po' di $\epsilon$ e dire che per ogni $\epsilon >0$ fissato, con probabilità di almeno $1-\epsilon$ si ha che $|X_n|\leq C_{\epsilon}$ ( che usando la dis. triangolare può essere preso uguale a $=1+\epsilon$) definitivamente. Chiamiamo $A_{\epsilon}$ questo evento.

$E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\leq E(\frac{|X_n-1|}{C_{\epsilon}+|X_n-1|}1_{A_{\epsilon}})+ P(A_{\epsilon}^c)\leq E(\frac{|X_n-1|}{C_{\epsilon}+|X_n-1|}1_{A_{\epsilon}}) +\epsilon $, da cui ottieni quello che vuoi (qui si è usato il fatto che comunque $\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|}\leq 1$), in quanto ottieni anche che, come corollario a questo ragionamento, q.c. $|X_n|$ è limitata, almeno definitivamente (per l'albitrarietà di $\epsilon$). concordi?

"retrocomputer":
Una dimostrazione applicando la definizione di convergenza in probabilità non la vedo, ma potrei passare attraverso la convergenza quasi certa considerando che la funzione $f(x)=1/x$ non è proprio continua, ma lo è quasi dappertutto... Vale lo stesso che se $X_n\to X$ quasi certamente allora anche $f(X_n)\to f(X)$ quasi certamente?

si, se $f$ è continua.
Poi nel tuo caso è vero anche per funzioni $f(x)=1/x$, l'importante è che $X_n=0$ solo su un insieme di misura nulla (e considerazioni analoghe per $f$ che hanno punti di discontinuità in generale).

[retrocomputer]

"fu^2":Beh se mostri che $E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\to 0$ e che $|X_n|$ è limitata da una costante q.c. ottieni che $E(\frac{|X_n-1|}{1+|X_n-1|})\to 0$ da cui ottieni la convergenza in probabilità.

Forse qui volevi scrivere che ottieni che $E(\frac{|1/{X_n}-1|}{1+|1/{X_n}-1|})\to 0$, o sbaglio?

"fu^2":
$E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\leq E(\frac{|X_n-1|}{C_{\epsilon}+|X_n-1|}1_{A_{\epsilon}})+ P(A_{\epsilon}^c)$

Questo passaggio non mi torna... Io avrei scambiato le posizioni di $A_\epsilon$ e $A_\epsilon^c$, se $A_\epsilon=\{|X_n|\leq C_{\epsilon}\}$... Sicuramente non ho capito qualcosa

[fu^2]

"retrocomputer":[quote="fu^2"]Beh se mostri che $E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\to 0$ e che $|X_n|$ è limitata da una costante q.c. ottieni che $E(\frac{|X_n-1|}{1+|X_n-1|})\to 0$ da cui ottieni la convergenza in probabilità.

Forse qui volevi scrivere che ottieni che $E(\frac{|1/{X_n}-1|}{1+|1/{X_n}-1|})\to 0$, o sbaglio?
[/quote]

si, ma, vedi sotto per una spiegazione più precisa
Anticipo: su un evento $A$ per cui $|X_n|>C$, con $C$ una costante, allora hai che $E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|}1_A)\leq E(\frac{|X_n-1|}{C+|X_n-1|})$ e questa converge a zero per ipotesi. concordi?

"retrocomputer":[quote="fu^2"]
$E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|})\leq E(\frac{|X_n-1|}{C_{\epsilon}+|X_n-1|}1_{A_{\epsilon}})+ P(A_{\epsilon}^c)$

Questo passaggio non mi torna... Io avrei scambiato le posizioni di $A_\epsilon$ e $A_\epsilon^c$, se $A_\epsilon=\{|X_n|\leq C_{\epsilon}\}$... Sicuramente non ho capito qualcosa [/quote]
si ho invertito le indicatrici, ma anche quello che volevo dire ...
Infatti hai che con probabilità almeno $1-\epsilon$, $|X_n-1|\leq \epsilon$ e dunque, se $\epsilon$ è sufficientemente piccolo hai che $|X_n|\geq \epsilon$ con probabilità di almeno $1-\epsilon$ (puoi supporre di lavorare sul medesimo evento, anzi devi fare così...). Questo dovrebbe essere giusto. Ora inverti la definizione di $A_{\epsilon}$ e con gli stessi passaggi di prima puoi concludere la dimostrazione, usando come $C_{\epsilon}=\epsilon$ , ora ti è chiaro l'ultimo passaggio?

[retrocomputer]

"fu^2":
Anticipo: su un evento $A$ per cui $|X_n|>C$, con $C$ una costante, allora hai che $E(\frac{|X_n-1|}{|X_n|+|X_n-1|}1_A)\leq E(\frac{|X_n-1|}{C+|X_n-1|})$ e questa converge a zero per ipotesi. concordi?

Sempre per il fatto che anche con $C$ al posto di $1$ ho una distanza che induce la convergenza in probabilità, giusto?

[fu^2]

beh si, o semplicemente perchè se riscrivi tutto hai $E(\frac{|X_n/C-1/C|}{1+|X_n/C-1/C|})$ e segue dalla definizione di convergenza in probabilità che se $X_n\to 1$ in probabilità allora $\alpha X_n\to\alpha$ in probabilità, per ogni costante $\alpha>0$.

[retrocomputer]

Giusto, così si fa prima che controllare le varie condizioni che rendono una funzione adatta a definire una distanza per la convergenza in probabilità