Teorema di markov
Buonasera a tutti 
Stavo studiando la dimostrazione del teorema di markov: detta P matrice di transizione se P è regolare allora esiste unica $ pi $ distribuzione invariante.
Per dimostrarlo pongo $ m=min{n|P^n>0} $
Ora sia m=1 e $ P>0 => EE epsilon >0 : P(i,j)>epsilon AA i,j $ , pongo $ mj(n)=min{i|P ^n(i,j)} $ e $ Mj(n)=max{i|P ^n(i,j)} $ . Voglio dimostrare che entrambe tendono a $ pij $ il che mi implicherebbe la prima parte della tesi.
Noto che la successione $ Mj(n) $ è una successione decrescente mentre l'altra è crescente.
ora considero due particolari stati del sistema, $ a $ e $ b $ per cui $ P^n(a,j)=mj(n) $ e $ P^n(b,j)=Mj(n) $ . Studio la successione delle differenze e voglio verificare che questa tenda a zero.
$ Mj(n+1)-mj(n+1)=sum_(k ) P (b,k)P^n(k,j)-sum_(k )P (a,k)P^n(k,j)<= (1-2 epsilon)(Mj(n)-mj(n)) $
non capisco da dove deriva l'ultima disuguaglianza. Aiutooooooo!!!
Stavo studiando la dimostrazione del teorema di markov: detta P matrice di transizione se P è regolare allora esiste unica $ pi $ distribuzione invariante.
Per dimostrarlo pongo $ m=min{n|P^n>0} $
Ora sia m=1 e $ P>0 => EE epsilon >0 : P(i,j)>epsilon AA i,j $ , pongo $ mj(n)=min{i|P ^n(i,j)} $ e $ Mj(n)=max{i|P ^n(i,j)} $ . Voglio dimostrare che entrambe tendono a $ pij $ il che mi implicherebbe la prima parte della tesi.
Noto che la successione $ Mj(n) $ è una successione decrescente mentre l'altra è crescente.
ora considero due particolari stati del sistema, $ a $ e $ b $ per cui $ P^n(a,j)=mj(n) $ e $ P^n(b,j)=Mj(n) $ . Studio la successione delle differenze e voglio verificare che questa tenda a zero.
$ Mj(n+1)-mj(n+1)=sum_(k ) P (b,k)P^n(k,j)-sum_(k )P (a,k)P^n(k,j)<= (1-2 epsilon)(Mj(n)-mj(n)) $
non capisco da dove deriva l'ultima disuguaglianza. Aiutooooooo!!!
Risposte
Puoi trovare una dimostrazione (che sfrutta il prodotto tra matrici) qui: http://www.diegm.uniud.it/rinaldo/periodoMarkov.pdf
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