Teorema del limite centrale spiegazione
salve a tutti, sono nuovo e sto preparando l'esame di statistica ma mi sono bloccato alla dimostrazione del teorema del limite centrale.
Ho capito in sostanza quello che il teorema vuole affermare ossia che la somma di n v.c. indipendenti tende alla distribuzione di una v.c. normale standardizzata quando n stesso tende a infinito.
Non riesco però a trovare dimostrazioni valide che spieghino come si arriva a tale conclusione.
Inoltre, sempre nella definizione, si parla di v.c. indipendenti, e subito il pensiero va ad una distribuzione bernoulliana dove ogni singolo evento è un evento a se, con probabilità 0 o 1.
Ma quando parla di eventi v.c. identicamente distribuite, cosa significa?
Grazie a tutti per chi voglia aiutarmi,
P.
Ho capito in sostanza quello che il teorema vuole affermare ossia che la somma di n v.c. indipendenti tende alla distribuzione di una v.c. normale standardizzata quando n stesso tende a infinito.
Non riesco però a trovare dimostrazioni valide che spieghino come si arriva a tale conclusione.
Inoltre, sempre nella definizione, si parla di v.c. indipendenti, e subito il pensiero va ad una distribuzione bernoulliana dove ogni singolo evento è un evento a se, con probabilità 0 o 1.
Ma quando parla di eventi v.c. identicamente distribuite, cosa significa?
Grazie a tutti per chi voglia aiutarmi,
P.
Risposte
non saprei aiutarti sulla dimostrazione, cmq per variabili i.i.d. cioè indipendenti e identicamente distribuite, significa letteralmente quello che è scritto. Cioè ad esempio n variabili poisson tutte dello stesso paramentro.
"pep":
Non riesco però a trovare dimostrazioni valide che spieghino come si arriva a tale conclusione.
La dimonstrazione non è tanto difficile da capire. Guarda qui...
http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst/PDFS/SEC_4_f.pdf
ok per la dimostrazione, ma ancora non ci sono per l'applicazione.
"Si lanci 120 volte una moneta. Utilizzando il Teorema del Limite Centrale, si calcoli la probabilità:
a) che un terzo dei lanci dia testa
b) che il numero di teste sia tra 50 e 70 estremi inclusi."
Come lo risolvereste?
O anche:
"Un test attitudinale è composto da 100 domande, ciascuna delle quali ha tre possibili risposte di cui una sola è quella giusta. Si supera il test se si risponde correttamente ad almeno 80 domande. Supponendo di rispondere a caso, calcolare attraverso il Teorema del Limite Centrale:
a) la probabilità di dare non più di 50 risposte esatte
b) la probabilità di superare il test
c) la probabilità che il numero di risposte esatte sia maggiore o uguale a 90.
(maledetto teorema
)
"Si lanci 120 volte una moneta. Utilizzando il Teorema del Limite Centrale, si calcoli la probabilità:
a) che un terzo dei lanci dia testa
b) che il numero di teste sia tra 50 e 70 estremi inclusi."
Come lo risolvereste?
O anche:
"Un test attitudinale è composto da 100 domande, ciascuna delle quali ha tre possibili risposte di cui una sola è quella giusta. Si supera il test se si risponde correttamente ad almeno 80 domande. Supponendo di rispondere a caso, calcolare attraverso il Teorema del Limite Centrale:
a) la probabilità di dare non più di 50 risposte esatte
b) la probabilità di superare il test
c) la probabilità che il numero di risposte esatte sia maggiore o uguale a 90.
(maledetto teorema
)
"pep":
ok per la dimostrazione, ma ancora non ci sono per l'applicazione.
"Si lanci 120 volte una moneta. Utilizzando il Teorema del Limite Centrale, si calcoli la probabilità:
a) che un terzo dei lanci dia testa
b) che il numero di teste sia tra 50 e 70 estremi inclusi."
Come lo risolvereste?
C'è un processo di Bernoulli.
Prima calcoli media, E[teste] e la varianza, Var[teste].
Poi possiamo usare il Teorema del Limite Centrale.
ok.
E(X) = n ∙ π = 120 ∙ 0,5 = 60
Var(X) = n ∙ π ∙ (1 − π) = 120 ∙ 0,5 ∙ (1 − 0,5) = 30
Quindi come applico il Teorema?
E(X) = n ∙ π = 120 ∙ 0,5 = 60
Var(X) = n ∙ π ∙ (1 − π) = 120 ∙ 0,5 ∙ (1 − 0,5) = 30
Quindi come applico il Teorema?
Scusate ma sono costretto ad upparlo 
a) \(\displaystyle \binom{120}{30} \cdot \frac{1}{2^{30}} \cdot \frac{1}{2^{90}} \)
b) che il numero di teste sia tra 50 e 70 estremi inclusi.
\(\displaystyle \frac{50}{\sqrt{30}}=??? \)
\(\displaystyle \frac{70}{\sqrt{30}}=??? \)
\(\displaystyle \frac{50}{\sqrt{30}}=??? \)
\(\displaystyle \frac{70}{\sqrt{30}}=??? \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo