Teorema del limite centrale locale
Consideriamo una passeggiata aleatoria semplice, $S_n=\sum_i^n X_i$ dove $X_i$ sono iid e prendono valori $+1,-1$.
Allora $P(S_n=x)=(2\pi n)^{-1/2}e^{-x^2/{2n}}(1+o(1))$, per $n\to \infty$. Questo fatto si generalizza a passeggiate aleatorie in $\mathbb{Z}^d$.
Il problema e' che vorrei trovare la dimostrazione di questo fatto, qualcuno conosce dei riferimenti bibliografici?
Allora $P(S_n=x)=(2\pi n)^{-1/2}e^{-x^2/{2n}}(1+o(1))$, per $n\to \infty$. Questo fatto si generalizza a passeggiate aleatorie in $\mathbb{Z}^d$.
Il problema e' che vorrei trovare la dimostrazione di questo fatto, qualcuno conosce dei riferimenti bibliografici?
Risposte
Ciao fu^2 
di questo teorema ho trovato altre definizioni (nei limiti della mia comprensione per argomenti troppi settoriali).
es. http://link.springer.com/article/10.100 ... 51?LI=true avendo accesso a questo documento si trova un proof ma non ho approfondito se fosse legato al tuo caso.
Della tua versione non ho trovato una dimostrazione esauriente ma solo qualche riga di testo "a parole".
Se confermi che ci sono più versioni ed alludono tutti allo stesso fatto, vediamo se riesco ad aiutarti
di questo teorema ho trovato altre definizioni (nei limiti della mia comprensione per argomenti troppi settoriali).
es. http://link.springer.com/article/10.100 ... 51?LI=true avendo accesso a questo documento si trova un proof ma non ho approfondito se fosse legato al tuo caso.
Della tua versione non ho trovato una dimostrazione esauriente ma solo qualche riga di testo "a parole".
Se confermi che ci sono più versioni ed alludono tutti allo stesso fatto, vediamo se riesco ad aiutarti
Grazie per la risposta! Purtroppo non ho accesso da casa alla springer, dovrò aspettare domani di andare in ufficio. Nel frattempo ho risolto per altre vie...
Scrivo dove si possono trovare le informazioni e le dimostrazioni sull'argomento, per completezza (così nel caso qualcuno fosse interessato può cercare):
- sulla bibbia delle bibbie di probabilità, lo shiriaev "Probability", pagina 56.
Viene trattato a forza bruta il caso in cui $X_n\in \{0,1\}$ con probabilità $q$ e $p$. La dimostrazione sono calcolacci con l'approssimazione di stirling.
Questa proposizione è poi usata per dimostrare la legge dei grandi numeri in questo caso particolare, comunque interessante.
- il caso generale si trova su Gregory, "Random Walk: A Modern Introduction", a cui è dedicato tutto il capitolo 2 qui si può trovare il libro in linea (
) http://www.math.uchicago.edu/~lawler/srwbook.pdf (penso proprio che questo libro sarà la mia lettura natalizia ).
Anche in un suo precedente libro si trova la dimostrazione, ma in questo momento mi sfugge il nome...
Scrivo dove si possono trovare le informazioni e le dimostrazioni sull'argomento, per completezza (così nel caso qualcuno fosse interessato può cercare):
- sulla bibbia delle bibbie di probabilità, lo shiriaev "Probability", pagina 56.
Viene trattato a forza bruta il caso in cui $X_n\in \{0,1\}$ con probabilità $q$ e $p$. La dimostrazione sono calcolacci con l'approssimazione di stirling.
Questa proposizione è poi usata per dimostrare la legge dei grandi numeri in questo caso particolare, comunque interessante.
- il caso generale si trova su Gregory, "Random Walk: A Modern Introduction", a cui è dedicato tutto il capitolo 2 qui si può trovare il libro in linea (
) http://www.math.uchicago.edu/~lawler/srwbook.pdf (penso proprio che questo libro sarà la mia lettura natalizia ). Anche in un suo precedente libro si trova la dimostrazione, ma in questo momento mi sfugge il nome...
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