Tempo tra due arrivi come una variabile aleatoria esponenziale

[l_ale13]

$ lambda $ Buongiorno,
chiedo a voi un aiuto siccome sto riscontrando difficoltà ad interpretare un problema.
La variabile aleatoria \( X \), tempo di attesa tra due arrivi a uno sportello di un ufficio espresso in minuti, è distribuita secondo un’esponenziale di parametro \( λ \).
a. Sapendo che la probabilità che il tempo tra due arrivi sia maggiore di 5 minuti è 0.75, quanto vale \( λ \)?
b. Qual è la probabilità che in 1 minuto vi siano 2 arrivi?
c. Qual è la probabilità che occorrano pi`u di 30 ore per osservare 100 arrivi?

Dal punto a viene fuori che $ lambda = ln (4/3)/5 $
Il punto c è semplicemente una Gamma$(100, ln (4/3)/5 ) $ che poi per calcolare la probabilità si applica il teorema del limite centrale per non usare software di calcolo.
Il punto b non riesco a risolverlo, la risposta deve tener conto che oltre al verificarsi del secondo arrivo non arrivi un terzo, ho ipotizzato che la probabilità sia $P(X<1)*P(Y>1-X)$ dove $Y$ si distribuisce come $X$, forse concettualmente è anche giusto ma i calcoli non saprei come svolgerli.
Potrebbe altrimenti distribuirsi come una Erlang?

[Lo_zio_Tom]

"l_ale13":$ lambda $ Buongiorno,


b. Qual è la probabilità che in 1 minuto vi siano 2 arrivi?

lambdabuongiorno anche a te....

Hint:

Teorema: Se il numero di arrivi in un intervallo di tempo $t$ è una v.c. di Poisson di parametro
$lambda$, allora il tempo T tra due arrivi consecutivi è una v.c. esponenziale negativa di
valor medio $1/lambda$

[l_ale13]

Va bene allora la distribuzione diventa una poisson $Y$ di parametro $λ = ln(4/3)/5$.
Calcolo quindi $P(Y=2)$ ?