Tempo di vita di un sistema con tre componenti in parallelo

[Kristina96]

Ciao a tutti,
stavo cercando di risolvere il seguente esercizio:

Un sistema è formato da 3 componenti posti in parallelo. I tempi di vita dei componenti sono variabili
aleatorie indipendenti con distribuzione esponenziale di media 2. Sia T il tempo di vita del sistema.
(i) Si calcoli la funzione di distribuzione di T e il suo valore atteso.
(ii) Si calcoli la probabilità che almeno due dei tre componenti siano in funzione all'istante t = 2.
(iii) Sapendo che i tre componenti funzionano in t = 1, qual è la probabilità che il sistema non
funzioni in t = 2?

Per i primi due punti me la sono cavata, al terzo ho avuto qualche problema.
Chiamando \(\displaystyle T \) il tempi di vita dell'intero sistema ed \(\displaystyle N_t \) il numero di componenti funzionanti all'istante t, la probabilità richiesta sarebbe
\(\displaystyle P(T\leq2|N_1=3) \). Visto che il sistema è il parallelo di tre componenti, se il sistema non funziona vuol dire che tutti e tre i componenti non funzionano, quindi avrei detto che fosse equivalente a calcolare:
\(\displaystyle P(N_2=0|N_1=0) \) perchè se il sistema a t = 2 non funziona, il numero di funzionanti in t=2 è zero.
E' giusto?
Il fatto è che poi mi sembrava semplice ma non riesco ad arrivare al risultato in allegato.

[Lo_zio_Tom]

Ci sono due strade percorribili:

1 ) la CDF del sistema è la CDF del $ max (X_1,X_2,X_3 )$ quindi

$F_T (t)=[1-e^(-t/2)]^3$

Ora, calcolare la probabilità che tutti e 3 i componenti siano non funzionanti in $t=2$ dato che tutti e 3 i componenti sono funzionanti in $t=1$ è come calcolare la probabilità che il sistema duri meno di un periodo e quindi semplicemente $F_T (1)=[1-e^(-1/2)]^3$

2) utilizzando la formula della probabilità condizionata

$((1-e^(-1)-1+e^(-1/2))^3)/(e^ (-3/2))=(e^(-1/2)-e^(-1))^3(e^(1/2))^3=[1-e^(-1/2)]^3$

Dove al numeratore ho messo la probabilità che i tre componenti si rompano fra il periodo 1 e il 2 mentre al denominatore la probabilità che tutti e 3 durino più di un periodo

namasté

[Kristina96]

Grazie, mi spieghi solo come sei arrivato al numeratore della frazione che hai scritto al punto due per favore?

[Lo_zio_Tom]

Ogni componente ha come funzione di distribuzione

$F (x)=1-e^ (-x/2) $

Dire che tutti e tre i sistemi funzionino in $t=1$ ma (sempre tutti e tre) non in $t=2$ è come dire $(F(2)-F (1))^3$

Ovviamente la prima soluzione è più elegante

[Kristina96]

Giusto, sì. Perfetto, grazie mille!
Posso chiederti un'ultima cosa? Il numeratore sarebbe la probabilità che il sistema funzioni in t = 1 ma non in t = 2. Queste due probabilità sono indipendenti?

[Lo_zio_Tom]

$F_(X _i)(2 )-F_(X_i)(1) $ è la probabilità che un componente si rompa fra 1 e 2...e questo mi pare ovvio. Le variabili aleatorie che descrivono le durate dei 3 componenti sono indipendenti e quindi elevi alla terza

Cosa vuol dire che due probabilità sono indipendenti??? Le probabilità sono un numero... sono le variabili che possono essere indipendenti o meno

Ciao

[Kristina96]

Scusa, non mi sono spiegata bene. Avrei voluto calcolare il numeratore come la probabilità :
\(\displaystyle
P(N_2 = 0 \cap N_1 = 3)
\)
cioè che il numero di componenti funzionanti in 1 è 3 e il numero di funzionanti in 2 è zero. Lo posso fare?
Per andare avanti avrei quindi voluto moltiplicare \(\displaystyle P(N_1=3) \) per \(\displaystyle P(N_2=0) \) per farne l'intersezione, ma solo se sono indipendenti.

Scusa, ho sbagliato di nuovo, volevo fare l'intersezione tra i due eventi \(\displaystyle N_2=0 \) e \(\displaystyle N_1=3 \), ma ho bisogno di sapere se i due EVENTI sono indipendenti e quindi le due variabili \(\displaystyle N_1 \) e \(\displaystyle N_2 \), così posso moltiplicare le due probabilità.