Tema d'esame su stimatori e calcolo probabilità
Salve, ho ricevuto l'ultima prova esame che mi varrà 1 punto all'esame ed oggi ho cercato di risolverla. Vi scrivo qua perchè vorrei chiedere consiglio sulla risoluzione di alcuni esercizi e verificare se altri sono corretti, iniziamo:
Esercizio 1.
Sia X ∼ N(μ, σ2) e X1,X2, . . . ,Xn un campione casuale di ampiezza n. Si consideri il seguente
stimatore della media della popolazione u.
T =1/2 (X1 + Xn )
con X1 è la prima variabile aleatoria e Xn è la media campionaria basata sul campione di ampiezza
n.
1. T è uno stimatore consistente per u?
2. Confrontare l’errore quadratico medio di T con l’EQM della media campionaria
Svolgimento:
$ E(T) = E(1/2 X1 + 1/2Xn) = (1/2 + 1/2)u = u $ quindi è uno stimatore corretto e la sua distorsione è pari a 0.
$ V (T) = V(1/2 X1 + 1/2 Xn) = 1/2 sigma ^2 $
$ EQM (T) = 1/2 sigma ^2 + 0 $
Consistenza T:
$ lim_(n -> oo) EQM (T) = 1/2 $ quindi non è uno stimatore consistente.
Confrontare l’errore quadratico medio di T con l’EQM della media campionaria?
E = u
V = $ sigma ^2/n $
EQM (X) = $ sigma ^2/n $
EQM (T) < EQM (X) quindi lo stimatore T è più efficiente
Esercizio 1.
Sia X ∼ N(μ, σ2) e X1,X2, . . . ,Xn un campione casuale di ampiezza n. Si consideri il seguente
stimatore della media della popolazione u.
T =1/2 (X1 + Xn )
con X1 è la prima variabile aleatoria e Xn è la media campionaria basata sul campione di ampiezza
n.
1. T è uno stimatore consistente per u?
2. Confrontare l’errore quadratico medio di T con l’EQM della media campionaria
Svolgimento:
$ E(T) = E(1/2 X1 + 1/2Xn) = (1/2 + 1/2)u = u $ quindi è uno stimatore corretto e la sua distorsione è pari a 0.
$ V (T) = V(1/2 X1 + 1/2 Xn) = 1/2 sigma ^2 $
$ EQM (T) = 1/2 sigma ^2 + 0 $
Consistenza T:
$ lim_(n -> oo) EQM (T) = 1/2 $ quindi non è uno stimatore consistente.
Confrontare l’errore quadratico medio di T con l’EQM della media campionaria?
E = u
V = $ sigma ^2/n $
EQM (X) = $ sigma ^2/n $
EQM (T) < EQM (X) quindi lo stimatore T è più efficiente
Risposte
Esercizio 2.
Dimostrare che lo stimatore $ S^2 = (Xì - bar(X) ) ^2 / (n-1) $ è uno stimatore non distorto della varianza della popolazione.
Qui non ho ben chiaro cosa debba fare...
Dimostrare che lo stimatore $ S^2 = (Xì - bar(X) ) ^2 / (n-1) $ è uno stimatore non distorto della varianza della popolazione.
Qui non ho ben chiaro cosa debba fare...
Il tempo di attesa (in minuti) ad uno sportello bancario è descritto da una variabile aleatoria
X ~ N(u ; $ sigma ^2 $ ) . Vengono effettuate 5 rilevazioni in 5 giorni diversi, ottenendo:
7 13 3 8 14
1. Si fornisca un intervallo di confidenza al 95% per l’attesa media allo sportello bancario.
2. Il direttore di una filiale sostiene che l’attesa agli sportelli della sua filiale è inferiore
all’attesa media degli sportelli di tutto il gruppo bancario, che è u = 10 minuti.
a. Impostare un appropriato sistema di ipotesi per sottoporre a verifica la tesi del
direttore
b. Si testino le ipotesi di cui sopra fissando a = 0.01
c. È possibile sostenere l’affermazione del direttore?
3. Si assuma ora che la varianza della popolazione sia nota e pari a 16, ovvero X ~ N(u ;16) .
Si calcolino il p-value e la potenza del test per H0: u= 10 contro H1: u = 5 avendo fissato
a = 0.1
Svolgimento:
mi calcolo xmedio= 9
$ S^2 = (487 - 405)/4 = 20,5 $
t4;0,025= 2,78
Cu0,95 $ [ 9 - 2,78 \cdot (4,52)/(2,24) ; 9 + 2,78\cdot (4,52)/(2,24)] $
Cu0,95 [12,55 ; 23,77]
$ { ( H0 : u = 10 ),( H1 : u < 10 ):} $
t = -0,49
-0,49 > 2,78 H0 non può essere rifiutata
nel secondo caso invece...
t4;0,01 = 7,17
-0,49 > -7,17 H0 non può essere rifiutata
Per quanto riguarda la potenza e p value ho fatto così:
$ beta = pr ( bar(x) > 9 | u= 10) $ risolvendo il tutto viene P(z<0,56) = 0,71
Potenza H0 = 1- B = 1- 0,71 = 0,29
$ beta = pr ( bar(x) > 9 | u= 5) $ risolvendo il tutto viene P(z > 2,24) = 0,01
Potenza H1 = 0,99
X ~ N(u ; $ sigma ^2 $ ) . Vengono effettuate 5 rilevazioni in 5 giorni diversi, ottenendo:
7 13 3 8 14
1. Si fornisca un intervallo di confidenza al 95% per l’attesa media allo sportello bancario.
2. Il direttore di una filiale sostiene che l’attesa agli sportelli della sua filiale è inferiore
all’attesa media degli sportelli di tutto il gruppo bancario, che è u = 10 minuti.
a. Impostare un appropriato sistema di ipotesi per sottoporre a verifica la tesi del
direttore
b. Si testino le ipotesi di cui sopra fissando a = 0.01
c. È possibile sostenere l’affermazione del direttore?
3. Si assuma ora che la varianza della popolazione sia nota e pari a 16, ovvero X ~ N(u ;16) .
Si calcolino il p-value e la potenza del test per H0: u= 10 contro H1: u = 5 avendo fissato
a = 0.1
Svolgimento:
mi calcolo xmedio= 9
$ S^2 = (487 - 405)/4 = 20,5 $
t4;0,025= 2,78
Cu0,95 $ [ 9 - 2,78 \cdot (4,52)/(2,24) ; 9 + 2,78\cdot (4,52)/(2,24)] $
Cu0,95 [12,55 ; 23,77]
$ { ( H0 : u = 10 ),( H1 : u < 10 ):} $
t = -0,49
-0,49 > 2,78 H0 non può essere rifiutata
nel secondo caso invece...
t4;0,01 = 7,17
-0,49 > -7,17 H0 non può essere rifiutata
Per quanto riguarda la potenza e p value ho fatto così:
$ beta = pr ( bar(x) > 9 | u= 10) $ risolvendo il tutto viene P(z<0,56) = 0,71
Potenza H0 = 1- B = 1- 0,71 = 0,29
$ beta = pr ( bar(x) > 9 | u= 5) $ risolvendo il tutto viene P(z > 2,24) = 0,01
Potenza H1 = 0,99
Esercizio 5
Dimostrare le proprietà degli stimatori dei minimi quadrati dei coefficienti della retta di regressione.
Specificare la distribuzione di tali stimatori e ricavarne la varianza.
Qua nemmeno ho capito cosa devo fare, mi sembra un po' ambiguo l'esercizio. Devo elencare le proprietà degli stimatori della retta di regressione? Cosa intende per "Specificare la distribuzione di tali stimatori e ricavarne la varianza"
Dimostrare le proprietà degli stimatori dei minimi quadrati dei coefficienti della retta di regressione.
Specificare la distribuzione di tali stimatori e ricavarne la varianza.
Qua nemmeno ho capito cosa devo fare, mi sembra un po' ambiguo l'esercizio. Devo elencare le proprietà degli stimatori della retta di regressione? Cosa intende per "Specificare la distribuzione di tali stimatori e ricavarne la varianza"
Esercizio 6
In una popolazione l’ammontare dei depositi su conto corrente delle famiglie è distribuito come una
normale con media 8 mila euro e deviazione standard 5 mila euro. Calcolare la probabilità che:
a) una famiglia estratta casualmente abbia il conto corrente in rosso;
b) una famiglia estratta casualmente abbia un deposito compreso tra 6 e 14 migliaia di euro;
c) in un campione di 9 famiglie l’ammontare medio dei depositi sia maggiore di 11 mila euro;
d) in un campione di 2 famiglie ve ne sia al massimo una con il conto in rosso;
e) una famiglia estratta casualmente da quelle con il conto in rosso possieda una casa, sapendo che
nella popolazione il 2% delle famiglie possiede una casa ed ha il conto in rosso.
Svolgimento:
a) Z = $ (8-0)/5 = 1,6 $ quindi P(Z<1,6) = 0,95
b) Z = 0,4 e Z= -1,2
P( -1,2 < Z < 0,4) = 0,54
Sugli altri 3 mi sono bloccata....
In una popolazione l’ammontare dei depositi su conto corrente delle famiglie è distribuito come una
normale con media 8 mila euro e deviazione standard 5 mila euro. Calcolare la probabilità che:
a) una famiglia estratta casualmente abbia il conto corrente in rosso;
b) una famiglia estratta casualmente abbia un deposito compreso tra 6 e 14 migliaia di euro;
c) in un campione di 9 famiglie l’ammontare medio dei depositi sia maggiore di 11 mila euro;
d) in un campione di 2 famiglie ve ne sia al massimo una con il conto in rosso;
e) una famiglia estratta casualmente da quelle con il conto in rosso possieda una casa, sapendo che
nella popolazione il 2% delle famiglie possiede una casa ed ha il conto in rosso.
Svolgimento:
a) Z = $ (8-0)/5 = 1,6 $ quindi P(Z<1,6) = 0,95
b) Z = 0,4 e Z= -1,2
P( -1,2 < Z < 0,4) = 0,54
Sugli altri 3 mi sono bloccata....
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