Tavoli matrimonio
Ho un problema di questo tipo:
Ci sono n invitati ad un matrimonio, gli sposi devono disporre gli invitati in tavoli da k posti. Quanti possibili scenari di tavolate possono esserci?
Trascurando l'ordine e la numerazione dei tavoli.
Ho provato a ragionare con n = 4 e k =2 mi sono venuti fuori i seguenti tavoli
1° scenario: { {1,2} , {3,4} }
2° scenario: { {1,3} , {2,4} }
3° scenario: { {1,4} , {2,3} }
Quindi gli scenari sono 3.
Avevo pensato alle combinazioni senza ripetizione...ma forse c'è dell'altro. Sapete aiutarmi?
Ci sono n invitati ad un matrimonio, gli sposi devono disporre gli invitati in tavoli da k posti. Quanti possibili scenari di tavolate possono esserci?
Trascurando l'ordine e la numerazione dei tavoli.
Ho provato a ragionare con n = 4 e k =2 mi sono venuti fuori i seguenti tavoli
1° scenario: { {1,2} , {3,4} }
2° scenario: { {1,3} , {2,4} }
3° scenario: { {1,4} , {2,3} }
Quindi gli scenari sono 3.
Avevo pensato alle combinazioni senza ripetizione...ma forse c'è dell'altro. Sapete aiutarmi?
Risposte
benvenuto/a nel forum.
per come il problema è posto, k deve essere un divisore di n, ma non è specificato nel testo e di solito in problemi simili non si pongono condizioni così particolari.
sembrerebbe quindi che in ogni tavolo vadano al massimo k posti. ma se non si specifica, ad esempio, che bisogna utilizzare il minimo possibile di tavoli, le soluzioni sono infinite, o almeno, se non si considerano tavoli vuoti, il numero di tavoli dovrebbe poter variare da $[(n-1)/k]+1$ a $n$, dove con le parentesi quadre ho indicato la parte intera.
inoltre, con l'esempio da te fornito, sembrerebbe che due "scenari" si considerano distinti solo se cambiano gli abbinamenti degli invitati ai tavoli, e non anche se cambia la posizione dei singoli tavoli (o l'occupazione di un gruppo di persone di un determinato tavolo) né se cambia la posizione reciproca occupata dagli invitati nei rispettivi tavoli. è così che va interpretato il termine "scenario"?
per come il problema è posto, k deve essere un divisore di n, ma non è specificato nel testo e di solito in problemi simili non si pongono condizioni così particolari.
sembrerebbe quindi che in ogni tavolo vadano al massimo k posti. ma se non si specifica, ad esempio, che bisogna utilizzare il minimo possibile di tavoli, le soluzioni sono infinite, o almeno, se non si considerano tavoli vuoti, il numero di tavoli dovrebbe poter variare da $[(n-1)/k]+1$ a $n$, dove con le parentesi quadre ho indicato la parte intera.
inoltre, con l'esempio da te fornito, sembrerebbe che due "scenari" si considerano distinti solo se cambiano gli abbinamenti degli invitati ai tavoli, e non anche se cambia la posizione dei singoli tavoli (o l'occupazione di un gruppo di persone di un determinato tavolo) né se cambia la posizione reciproca occupata dagli invitati nei rispettivi tavoli. è così che va interpretato il termine "scenario"?
Non è che per scenario intendi persone diverse in ogni tavolo, considerando la loro posizione nei rispettivi tavoli? Perché se fosse così considererei le disposizioni semplici senza ripetizione, cioè $ D_{2,4}=C_{2,4}*P_2=((4),(2))*(2!)=12 $ scenari diversi.
Solo che considerare tavoli solo da $k=2$ posti, con relativa posizione non so fino a che punto sia logico!
Non è che invece per "scenario" intendi persone diverse per ogni tavolo, senza considerare la posizione (cioè l'ordine)? Perché se è così allora come dici tu puoi utilizzare le combinazioni senza ripetizione, avendo $6$ scenari diversi
Solo che considerare tavoli solo da $k=2$ posti, con relativa posizione non so fino a che punto sia logico!
Non è che invece per "scenario" intendi persone diverse per ogni tavolo, senza considerare la posizione (cioè l'ordine)? Perché se è così allora come dici tu puoi utilizzare le combinazioni senza ripetizione, avendo $6$ scenari diversi
Inizialmente avevo pensato alle combinazioni con ripetizione $ C'_{n,k}=((n+k-1),(k)) $, cioè pensavo di studiare il problema di determinare in quanti modi possibili si possono distribuire $n$ invitati indistinguibili in $k$ tavoli. Tuttavia, mi ha lasciato perplesso questa indistinguibilità degli invitati! Sicché ho cercato di analizzare il concetto di "scenari" come ho fatto nel post precedente!
Tuttavia, ora mi sorge un altro dubbio e deriva proprio dal concetto di indistinguibilità! Se volessimo analizzare il concetto "dal di fuori" gli invitati sono naturalmente indistinguibili, però per gli sposi no. Questi, infatti, abbineranno gli invitati a due a due nei rispettivi tavoli secondo la loro parentela o affinità non credete? Questo non farà altro che modificare il numero di scenari!
Tuttavia, ora mi sorge un altro dubbio e deriva proprio dal concetto di indistinguibilità! Se volessimo analizzare il concetto "dal di fuori" gli invitati sono naturalmente indistinguibili, però per gli sposi no. Questi, infatti, abbineranno gli invitati a due a due nei rispettivi tavoli secondo la loro parentela o affinità non credete? Questo non farà altro che modificare il numero di scenari!
la risposta nel caso semplice (n multiplo di k) penso sia attraverso i coefficienti multinomiali: $((( , , n, , ),(k,k, ... , k, k)))/((n/k)!)=(n!)/((k!)^(n/k)*(n/k)!)$, se non dobbiamo distinguere tra i vari tavoli e le posizioni reciproche.
se invece k non è un divisore di n, allora le cose si complicano un po', perché dovremmo distinguere il caso in cui un certo numero di tavoli ha $k-1$ invitati dal caso in cui tutti i tavoli meno uno hanno $k$ invitati e dai casi intermedi...
se invece k non è un divisore di n, allora le cose si complicano un po', perché dovremmo distinguere il caso in cui un certo numero di tavoli ha $k-1$ invitati dal caso in cui tutti i tavoli meno uno hanno $k$ invitati e dai casi intermedi...
@Tutti:
- Sì, k è un divisore di n
@Sergio, adaBTTLS: credo proprio che la formula che avete trovato sia quella giusta!
Grazie a tutti.
- Sì, k è un divisore di n
@Sergio, adaBTTLS: credo proprio che la formula che avete trovato sia quella giusta!
Grazie a tutti.
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