Superproblema probabilità:vediamo chi arriva alla soluzione!
Due fornitori A e B di iniettori per una fabbrica di automobili hanno nella loro produzione rispettivamente 0.4% e 0.7% di pezzi difettosi.
inoltre A fornisce il 70% del totale degli iniettori acquistati dalla fabbrica e B il 30%.
Determinare la probabilità che su 13 pezzi scelti a caso dal magazzino ve ne siano più di 2 difettosi.
chi sa la soluzione è un cervellone!!
buona sfida!
inoltre A fornisce il 70% del totale degli iniettori acquistati dalla fabbrica e B il 30%.
Determinare la probabilità che su 13 pezzi scelti a caso dal magazzino ve ne siano più di 2 difettosi.
chi sa la soluzione è un cervellone!!
buona sfida!
Risposte
chi sa la soluzione è un cervellone!!
che esagerazione! è un problema abbastanza standard.
tu sai la risposta?
Si tratta di un classico problema sull'uso della probabilità condizionata, non lo definirei un problema difficile... Vuole essere una sfida oppure hai bisogno di aiuto sul metodo di risoluzione?
visto che non sono l'unica a pensarla così, butto qui non il procedimento ma la risposta in termini percentuali, approssimata veramente di pochissimo:
sperando di non aver commesso errori di calcolo, do il mio risultato se qualcun altro volesse confrontarlo con il proprio: $98,65 %$
come spiegato successivamente, tale risultato riguarda il caso in cui 0.4 e 0.7 rappresenti la probabilità di trovare un pezzo difettoso, e non la percentuale...
rifacendo i conti, viene $3.24*10^(-5)$ come scritto da Chicco_Stat_
sperando di non aver commesso errori di calcolo, do il mio risultato se qualcun altro volesse confrontarlo con il proprio: $98,65 %$
come spiegato successivamente, tale risultato riguarda il caso in cui 0.4 e 0.7 rappresenti la probabilità di trovare un pezzo difettoso, e non la percentuale...
rifacendo i conti, viene $3.24*10^(-5)$ come scritto da Chicco_Stat_
a me sembrava molto più difficile...qualcono sa spiegarmi come svolgerlo ed il procedimento?
"molto più difficile" di che cosa? ho solo scritto un numeretto...
si può calcolare preliminarmente la probabilità che un pezzo sia difettoso. se hai bisogno di un diagramma ad albero te lo posto, ma poiché la spesa non vale l'impresa prova tu a costruirtelo: vertice, due archi (A, 70%; B, 30%), da ciascuno dei due nuovi nodi altre due diramazioni con le rispettive probabilità dei pezzi difettosi e dei pezzi buoni.
ti scrivo la formula che porta a trovare la probabilità di base (chiamiamola p): $p=0.7*0.4+0.3*0.7=0.49$,
da cui la probabilità che un pezzo sia buono: $q=1-p=0.51$
la probabilità richiesta è data da $1$ meno la probabilità dell'evento contrario, cioè che i pezzi difettosi siano 0, 1 o 2.
dalla distribuzione binomiale abbiamo:
$P=1-[((13),(0))*(0.51)^13+((13),(1))*(0.51)^12*(0.49)+((13),(2))*(0.51)^11*(0.49)^2]=1-{(0.51)^11*[(0.51)^2+13*0.51*0.49+13*6*(0.49)^2]}="circa"0.9865$
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: pardon, vedendo la risposta di Chicco_Stat_, mi sono accorta di aver preso 0.4 e 0.7 come probabilità dei pezzi difettosi, ed invece erano in percentuali..., per cui verrebbe $p=0.0049$ e $q=0.9951$.
riscrivo la formula precedente:
$P=1-[((13),(0))*(0.9951)^13+((13),(1))*(0.9951)^12*(0.0049)+((13),(2))*(0.9951)^11*(0.0049)^2]=1-{(0.9951)^11*[(0.9951)^2+13*0.9951*0.0049+13*6*(0.0049)^2]}$
lascio per ora indicato, senza scrivere il risultato numerico.
si può calcolare preliminarmente la probabilità che un pezzo sia difettoso. se hai bisogno di un diagramma ad albero te lo posto, ma poiché la spesa non vale l'impresa prova tu a costruirtelo: vertice, due archi (A, 70%; B, 30%), da ciascuno dei due nuovi nodi altre due diramazioni con le rispettive probabilità dei pezzi difettosi e dei pezzi buoni.
ti scrivo la formula che porta a trovare la probabilità di base (chiamiamola p): $p=0.7*0.4+0.3*0.7=0.49$,
da cui la probabilità che un pezzo sia buono: $q=1-p=0.51$
la probabilità richiesta è data da $1$ meno la probabilità dell'evento contrario, cioè che i pezzi difettosi siano 0, 1 o 2.
dalla distribuzione binomiale abbiamo:
$P=1-[((13),(0))*(0.51)^13+((13),(1))*(0.51)^12*(0.49)+((13),(2))*(0.51)^11*(0.49)^2]=1-{(0.51)^11*[(0.51)^2+13*0.51*0.49+13*6*(0.49)^2]}="circa"0.9865$
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: pardon, vedendo la risposta di Chicco_Stat_, mi sono accorta di aver preso 0.4 e 0.7 come probabilità dei pezzi difettosi, ed invece erano in percentuali..., per cui verrebbe $p=0.0049$ e $q=0.9951$.
riscrivo la formula precedente:
$P=1-[((13),(0))*(0.9951)^13+((13),(1))*(0.9951)^12*(0.0049)+((13),(2))*(0.9951)^11*(0.0049)^2]=1-{(0.9951)^11*[(0.9951)^2+13*0.9951*0.0049+13*6*(0.0049)^2]}$
lascio per ora indicato, senza scrivere il risultato numerico.
proviamo..
la probabilità di un difettoso dalla macchina A è $0.4%$, dalla macchina B è $0.7%$ ovvero
$Pr(D|A)=0.004$
$Pr(D|B)=0.007$
la macchina ha produce il $70%$ dei pezzi, la B il $30%$, quindi estraendo a caso un pezzo dalla produzione
$Pr(A)=0.7$
$Pr(B)=0.3$
l'evento "estrarre un pezzo difettoso" $D$ è costituito da
D={il pezzo è difettoso e viene da A} oppure {il pezzo è difettoso e viene da B}
in termini probabilistici:
$D={D\capA}\cup{D\capB}$
essendo ${D\capA}$ e ${D\capB}$ eventi disgiunti
$Pr(D)=Pr(D\capA)+Pr(D\capB)$
in virtù della formula delle probabilità condizionate $Pr(D|A)=\frac{Pr(D\capA)}{P(A)}=>P(D\capA)=P(A)*P(D|A)$ (idem per B)
e quindi
$Pr(D)=P(A)*P(D|A)+P(B)*P(D|B)=0.004*0.7+0.007*0.3=0.0049$
chiamiamo $p=Pr(D)$, l'interesse ora è relativa alla variabile casuale X="numero di pezzi difettosi in $n=13$ estrazioni (supponiamole indipendenti), ciascuna delle quali ha probabilità $p=0.0049$ di risultare difettoso"
la variabile $X$ segue una legge binomiale di parametri $n$ e $p$ sopra definiti, quindi l'evento di interesse è $Pr(X>2|n=13,p=0.0049)$
usando la probabilità dell'evento complementare:
$Pr(X>2)=1-Pr(X<=2) = 1 - [Pr(X=0)+Pr(X=1)+Pr(X=2)] = [...] = 3.243264e-05$
la probabilità di un difettoso dalla macchina A è $0.4%$, dalla macchina B è $0.7%$ ovvero
$Pr(D|A)=0.004$
$Pr(D|B)=0.007$
la macchina ha produce il $70%$ dei pezzi, la B il $30%$, quindi estraendo a caso un pezzo dalla produzione
$Pr(A)=0.7$
$Pr(B)=0.3$
l'evento "estrarre un pezzo difettoso" $D$ è costituito da
D={il pezzo è difettoso e viene da A} oppure {il pezzo è difettoso e viene da B}
in termini probabilistici:
$D={D\capA}\cup{D\capB}$
essendo ${D\capA}$ e ${D\capB}$ eventi disgiunti
$Pr(D)=Pr(D\capA)+Pr(D\capB)$
in virtù della formula delle probabilità condizionate $Pr(D|A)=\frac{Pr(D\capA)}{P(A)}=>P(D\capA)=P(A)*P(D|A)$ (idem per B)
e quindi
$Pr(D)=P(A)*P(D|A)+P(B)*P(D|B)=0.004*0.7+0.007*0.3=0.0049$
chiamiamo $p=Pr(D)$, l'interesse ora è relativa alla variabile casuale X="numero di pezzi difettosi in $n=13$ estrazioni (supponiamole indipendenti), ciascuna delle quali ha probabilità $p=0.0049$ di risultare difettoso"
la variabile $X$ segue una legge binomiale di parametri $n$ e $p$ sopra definiti, quindi l'evento di interesse è $Pr(X>2|n=13,p=0.0049)$
usando la probabilità dell'evento complementare:
$Pr(X>2)=1-Pr(X<=2) = 1 - [Pr(X=0)+Pr(X=1)+Pr(X=2)] = [...] = 3.243264e-05$
grazie mille a tutti!!
prego!
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