Superfici di risposta
salve a tutti!
avrei bisogno di costruire delle superfici di risposta per modellizzare l'influenza di alcuni parametri su una variabile dipendente, ma non ho ben chiari i passaggi "pratici " da effettuare. qualcuno potrebbe consigliarmi?
grazie in anticipo
avrei bisogno di costruire delle superfici di risposta per modellizzare l'influenza di alcuni parametri su una variabile dipendente, ma non ho ben chiari i passaggi "pratici " da effettuare. qualcuno potrebbe consigliarmi?
grazie in anticipo
Risposte
dai qualche dettaglio in più
in sostanza ho effettuato una serie di esperimenti, la variabile dipendente quindi è il risultato di tali prove (espresso in percentuale). le variabili indipendenti invece sono la temperatura (in gradi centigradi), il tempo di reazione (in ore). Non ho idea di come trovare una superficie di risposta che si adatti ai miei risultati. Ad esempio:
Prova1: RISULTATO=20%; temperatura= 100°;t=4h
Prova2: RISULTATO=50%; temperatura= 100°;t=24h;
ci sono dei passaggi matematici che mi permettono di costruire una superficie di risposta che modelli questi risultati?
mi interessano i calcoli da fare manualmente, senza l'utilizzo di software.
grazie mille
Prova1: RISULTATO=20%; temperatura= 100°;t=4h
Prova2: RISULTATO=50%; temperatura= 100°;t=24h;
ci sono dei passaggi matematici che mi permettono di costruire una superficie di risposta che modelli questi risultati?
mi interessano i calcoli da fare manualmente, senza l'utilizzo di software.
grazie mille
io ti consiglio di cercare informazioni sulla regressione lineare, anche se non è correttissimo utilizzarla con variabile dipendente in percentuali, forse è meglio se la usi nella sua forma normale (valore)
dalle ricerche che ho fatto su internet mi pare di aver capito che la regressione sia il primo passo per la costruzione di superfici di risposta,ma non riesco a trovare un esempio pratico che si adatti al mio caso.e non ho idea di come inserire nella funzione valori con unità di misura così diverse
Quello che serve a te è trovare la seguente funzione:
$y= \alpha+\beta_1 temperatura+ \beta_2 t+\epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$
dove $y$ è il risultato della prova e come dicevo prima ti conviene usare la scala naturale della risposta, non le percentuali (se possibile).
Bisogna quindi trovare i valori $\beta=(\alpha, \beta_1, \beta_2)^T$. Indica con $\mathbf{X}$ una matrice di dimensione $n \times 3$, dove $n$ è il numero delle tue osservazioni, che alla prima colonna ha tutti 1, alla seconda ha i valori di $temparatura$ e alla terza i valori di $h$.
La formula per trovare $\beta$ è la seguente:
$\beta=(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^Tmathbf{y}$
dove $mathbf{y}$ è un vettore che contiene i tuoi $n$ risultati.
Ci sarebbe da fare poi tutto il discorso sulla verifica delle ipotesi etc etc, ma è troppo lungo e non so se ti interessa.
P.S. qualcuno sa dirmi come si fanno le lettere greche in grassetto? In latex uso, per esmpio, \boldsymbol{\beta}, ma non funziona
$y= \alpha+\beta_1 temperatura+ \beta_2 t+\epsilon$, con $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$
dove $y$ è il risultato della prova e come dicevo prima ti conviene usare la scala naturale della risposta, non le percentuali (se possibile).
Bisogna quindi trovare i valori $\beta=(\alpha, \beta_1, \beta_2)^T$. Indica con $\mathbf{X}$ una matrice di dimensione $n \times 3$, dove $n$ è il numero delle tue osservazioni, che alla prima colonna ha tutti 1, alla seconda ha i valori di $temparatura$ e alla terza i valori di $h$.
La formula per trovare $\beta$ è la seguente:
$\beta=(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^Tmathbf{y}$
dove $mathbf{y}$ è un vettore che contiene i tuoi $n$ risultati.
Ci sarebbe da fare poi tutto il discorso sulla verifica delle ipotesi etc etc, ma è troppo lungo e non so se ti interessa.
P.S. qualcuno sa dirmi come si fanno le lettere greche in grassetto? In latex uso, per esmpio, \boldsymbol{\beta}, ma non funziona
ti ringrazio per il tempo che stai dedicando... alpha è l'intercetta con l'asse delle ordinate giusto?ma come lo trovo?mettendo il valore dell'esperimento in cui le variabili indipendenti siano pari a 0?
inoltre il fatto di voler cercare una superficie di risposta piuttosto che una retta di regressione è dovuto al fatto che nel primo caso potrei tener conto anche della reciproca interazione fra le variabili indipendenti.
inoltre il fatto di voler cercare una superficie di risposta piuttosto che una retta di regressione è dovuto al fatto che nel primo caso potrei tener conto anche della reciproca interazione fra le variabili indipendenti.
nella formula che ti ho indicaato,$\beta$ è un vettore di dimensione 3, che al primo posto ha il valore dell'intercetta.
Se in una regressione usi due variabili, ottieni una superficie, poi se tu vuoi usare l'interazioni tra variabili basta cambiare un po' la fomrulazione. Per fare un esempio, immagina che per te ci sia un'interazione tra temperatura e t moltiplicativa, la formula diventa: $y=\alpha+\beta_{1}temperatura+\beta_{2}t+\beta_3 temperatura\times t+\epsilon$, avresti $\beta=(\alpha, \beta_1,\beta_2,\beta_3)^T$, la matrice $\mathbf{X}$ avrebbe 4 colonne, tre come le precedenti e la quarta contenete i valori di $ temperatura\times t$. A questo punto puoi usare la formula per trovare $\beta$ che contiene l'intercetta e i coefficienti
Se in una regressione usi due variabili, ottieni una superficie, poi se tu vuoi usare l'interazioni tra variabili basta cambiare un po' la fomrulazione. Per fare un esempio, immagina che per te ci sia un'interazione tra temperatura e t moltiplicativa, la formula diventa: $y=\alpha+\beta_{1}temperatura+\beta_{2}t+\beta_3 temperatura\times t+\epsilon$, avresti $\beta=(\alpha, \beta_1,\beta_2,\beta_3)^T$, la matrice $\mathbf{X}$ avrebbe 4 colonne, tre come le precedenti e la quarta contenete i valori di $ temperatura\times t$. A questo punto puoi usare la formula per trovare $\beta$ che contiene l'intercetta e i coefficienti
ok grazie ho trovato la funzione in variabili codificate, l'ho riportata in variabili naturali e l'ho rappresentata con matlab...adesso per trovare max e min o flessi mi basta studiare le derivate parziali giusto?
se poi voglio passare a una rappresentazione con un polinomio del secondo ordine (e dovrei visto che ho una curvatura piuttosto accentuata) ho trovato che devo aggiungere altri punti per fare il piano composito centrale...cioè fare altri esperimenti tenendo una variabile al suo valore medio e l'altra impostarla su un valore α che devo scegliere secondo alcuni criteri...non c'è un'opzione per evitare di fare nuovi esperimenti?
se poi voglio passare a una rappresentazione con un polinomio del secondo ordine (e dovrei visto che ho una curvatura piuttosto accentuata) ho trovato che devo aggiungere altri punti per fare il piano composito centrale...cioè fare altri esperimenti tenendo una variabile al suo valore medio e l'altra impostarla su un valore α che devo scegliere secondo alcuni criteri...non c'è un'opzione per evitare di fare nuovi esperimenti?
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