Sup e limsup
Salve a tutti.
Devo dimostrare che $\lim_{\delta\to0}\text{ sup}_{n\geq1}P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)=0$.
Dove $\{X^n\}_n$ è una successione di processi stocastici a tempo continuo.
Ognuno di questi processi è continuo.
Il libro dice che posso sostituire il $\text{sup}$ con $\overline{\lim_{n\to+\infty}}$ perchè (riducendo $\delta$) per un numero finito di interi $n$ riesco a rendere $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio.
Non capisco 2 cose:
1) Penso che quella probabilità possa essere resa piccola quanto voglio perchè $X^n$ è un processo continuo (cioè con traiettorie continue).
Quello che non capisco è perchè questo si può fare solo per un numero finito di interi $n$.
2) perchè si può scambiare il sup con il limsup
Grazie a tutti
Devo dimostrare che $\lim_{\delta\to0}\text{ sup}_{n\geq1}P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)=0$.
Dove $\{X^n\}_n$ è una successione di processi stocastici a tempo continuo.
Ognuno di questi processi è continuo.
Il libro dice che posso sostituire il $\text{sup}$ con $\overline{\lim_{n\to+\infty}}$ perchè (riducendo $\delta$) per un numero finito di interi $n$ riesco a rendere $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio.
Non capisco 2 cose:
1) Penso che quella probabilità possa essere resa piccola quanto voglio perchè $X^n$ è un processo continuo (cioè con traiettorie continue).
Quello che non capisco è perchè questo si può fare solo per un numero finito di interi $n$.
2) perchè si può scambiare il sup con il limsup
Grazie a tutti
Risposte
la prima cosa che penso è che lui -il libro- dice per un numero finito di $n$ in quanto non hai uniformità sugli $n$ per rendere piccola la probabilità. Ovvero non puoi trovare un $\delta$ finito che vada bene per ogni $n$, quindi il gioco vale solo per quantità finite.
Il fatto che tu hai questa proprietà deriva dal fatto che sono continue le traiettorie (il risultato penso rimanga vero per traiettorie qc continue, no?).
per la seconda: la definizione di limsup_n è $\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\lim_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}$ dunque se tu hai solo un numero finito di cose che sono piccole, hai che esiste $n$ grande tale per cui (tralascio l'argomento del sup, che comunque è sottointeso essere tutta la spataffiata scritta sopra della probabilità
) $\text{sup}_{j\geq n}=\text{sup}_k$, da cui puoi dunque scambiare le due cose, penso sia questo il motivo... ti trovi?
Il fatto che tu hai questa proprietà deriva dal fatto che sono continue le traiettorie (il risultato penso rimanga vero per traiettorie qc continue, no?).
per la seconda: la definizione di limsup_n è $\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\lim_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}$ dunque se tu hai solo un numero finito di cose che sono piccole, hai che esiste $n$ grande tale per cui (tralascio l'argomento del sup, che comunque è sottointeso essere tutta la spataffiata scritta sopra della probabilità
) $\text{sup}_{j\geq n}=\text{sup}_k$, da cui puoi dunque scambiare le due cose, penso sia questo il motivo... ti trovi?
Intanto grazie per la disponibilità e complimenti per tutte le cose che riesci a spiegare agli altri.
Sulla prima parte sono assolutamente d'accordo, è da dopo la definizione di limsup che mi sono un pò persa.
Ora rifletto un pò su questo:
poi in caso ti faccio sapere.
Grazie mille
Sulla prima parte sono assolutamente d'accordo, è da dopo la definizione di limsup che mi sono un pò persa.
Ora rifletto un pò su questo:
"fu^2":
dunque se tu hai solo un numero finito di cose che sono piccole, hai che esiste $n$ grande tale per cui (tralascio l'argomento del sup, che comunque è sottointeso essere tutta la spataffiata scritta sopra della probabilità
poi in caso ti faccio sapere.
Grazie mille
Allora provo a riassumere:
Io so che $\forall n$ fissato e per $\delta$ piccolo posso rendere la quantità $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio. Solo che in generale non riesco a trovare un $\delta$ che vada bene per tutti gli $n$.
Quindi $\forall n$, riesco a trovare un $\delta$ che mi rende $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio per almeno l'$n$ che ho scelto e forse per un numero finito di $n$.
La definizione di limsup è la seguente:
$\lim_{n\to \infty}\text{sup}=text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}$
Dunque se io per $\delta$ abbastanza piccolo ho che $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ è piccola per un numero finito di $n$, ho che esiste un $n$ grande tale per cui fare $\text{sup}_{j\geq n}$ o fare $\text{sup}_j$ è la stessa cosa.
Quindi in conclusione
$\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_j=\text{sup}_j$.
L'ultima uguaglianza l'ho scritta perchè $\text{sup}_j$ è indipendente da $n$.
Fila più o meno?
Io so che $\forall n$ fissato e per $\delta$ piccolo posso rendere la quantità $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio. Solo che in generale non riesco a trovare un $\delta$ che vada bene per tutti gli $n$.
Quindi $\forall n$, riesco a trovare un $\delta$ che mi rende $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio per almeno l'$n$ che ho scelto e forse per un numero finito di $n$.
La definizione di limsup è la seguente:
$\lim_{n\to \infty}\text{sup}=text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}$
Dunque se io per $\delta$ abbastanza piccolo ho che $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ è piccola per un numero finito di $n$, ho che esiste un $n$ grande tale per cui fare $\text{sup}_{j\geq n}$ o fare $\text{sup}_j$ è la stessa cosa.
Quindi in conclusione
$\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_j=\text{sup}_j$.
L'ultima uguaglianza l'ho scritta perchè $\text{sup}_j$ è indipendente da $n$.
Fila più o meno?
"stelladinatale":
Allora provo a riassumere:
Io so che $\forall n$ fissato e per $\delta$ piccolo posso rendere la quantità $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio. Solo che in generale non riesco a trovare un $\delta$ che vada bene per tutti gli $n$.
Quindi $\forall n$, riesco a trovare un $\delta$ che mi rende $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ piccola quanto voglio per almeno l'$n$ che ho scelto e forse per un numero finito di $n$.
Perchè forse? se dato $n$ trovi un $\delta=\delta_n$ che ti fa questo lavoro, allora posto $\delta=\min_{j=1,...,N}\delta_j$ hai che tale delta va bene per tutti gli indici $j=1,...,N$.
Qui vedi anche perchè per un numero infinito non va bene: se al posto del min metti un inf e lo prendi su tutti gli indici $n$, esso potrebbe essere tranquillamente zero (pensa $\delta=1/n$), cosa che non vuoi.
"stelladinatale":
La definizione di limsup è la seguente:
$\lim_{n\to \infty}\text{sup}=text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}$
Dunque se io per $\delta$ abbastanza piccolo ho che $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ è piccola per un numero finito di $n$, ho che esiste un $n$ grande tale per cui fare $\text{sup}_{j\geq n}$ o fare $\text{sup}_j$ è la stessa cosa.
Quindi in conclusione
$\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_j=\text{sup}_j$.
L'ultima uguaglianza l'ho scritta perchè $\text{sup}_j$ è indipendente da $n$.
Fila più o meno?
esatto, penso, che il fatto che hai un numero finito di termini per cui la probabilità è piccola ti serva a dire che il sup è realizzato "all'infinito", da cui le uguaglianze...(rifletti bene sulla definizione di limsup!)
Scusate se insisto ma nel frattempo mi è venuta in mente una cosa che non mi torna tanto 
.
Allora abbiamo detto che se io per $\delta$ abbastanza piccolo ho che $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ è piccola per un numero finito di $n$, ho che esiste un $n$ grande tale per cui fare $\text{sup}_{j\geq n}$ o fare $\text{sup}_j$ è la stessa cosa.
Quindi posso concludere che:
$\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_j=\text{sup}_j$.
In questa conclusione però il fatto che quella quantità sia piccola per un numero FINITO di $n$ è fondamentale.
E' vero che in generale non esiste un $\delta$ che mi renda piccola quella probabilità per infiniti $n$ però non lo posso neanche escludere cioè potrebbe anche succedere che esista un $\overline{\delta}$ tale che quella probabilità riesco a renderla piccola quanto voglio per tutti gli $n$ e la stessa cosa vale per tutti i $\delta\leq\overline{delta}$,
In questo caso non posso più concludere quel fatto lì.
Giusto?
.Allora abbiamo detto che se io per $\delta$ abbastanza piccolo ho che $P(max_{|s-t|\leq\delta}|X_s^n-X_t^n|\geq\epsilon)$ è piccola per un numero finito di $n$, ho che esiste un $n$ grande tale per cui fare $\text{sup}_{j\geq n}$ o fare $\text{sup}_j$ è la stessa cosa.
Quindi posso concludere che:
$\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_{j\geq n}=\text{inf}_{n\to \infty}\text{sup}_j=\text{sup}_j$.
In questa conclusione però il fatto che quella quantità sia piccola per un numero FINITO di $n$ è fondamentale.
E' vero che in generale non esiste un $\delta$ che mi renda piccola quella probabilità per infiniti $n$ però non lo posso neanche escludere cioè potrebbe anche succedere che esista un $\overline{\delta}$ tale che quella probabilità riesco a renderla piccola quanto voglio per tutti gli $n$ e la stessa cosa vale per tutti i $\delta\leq\overline{delta}$,
In questo caso non posso più concludere quel fatto lì.
Giusto?
in questo fortuito caso l'asserto (la prima riga del post 1) segue senza problemi e tecnicismi, no?
Ma comunque la dimostrazione vale anche in questo caso.
Ma comunque la dimostrazione vale anche in questo caso.
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