Sulla stima di massima verosimiglianza
Sto meditando sulla stima di massima verosimiglianza e ho qualche (spero 
) piccolo dubbio. Intanto scrivo la definizione:
Dato un modello statistico $(\Omega,\mathcal{F},(\mathbb{P}^\theta,\theta\in\Theta))$ tale che $\Theta\subset RR$, si dice che $U$ è una stima di massima verosimiglianza se, per ogni $\omega\in\Omega$, si ha
$L(U(\omega),\omega)=\text{sup}_{\theta\in\Theta} L(\theta,\omega)=\text{sup}_{\theta\in\Theta} \mathbb{P}^\theta(\{\omega\})$ (*)
dove $L$ è la funzione di verosimiglianza, generalmente una funzione $\Theta\times\Omega\to RR^+$.
Intanto osservo che la stima $U$ è una variabile aleatoria necessariamente a valori in $\Theta$ e che la condizione (*) basta che sia verificata al di fuori di un insieme trascurabile secondo $\mathbb{P}^\theta$ per ogni $\theta\in\Theta$, per come è definita la verosimiglianza.
Ora, nella definizione si parla di SUP, ma altrove vedo anche usato il MAX. Se si deve studiare il parametro della legge di Bernoulli va bene usare indistintamente MAX o SUP, intanto $\theta$ non può che essere nell'insieme chiuso $[0,1]$, ma in altri casi? Basta che $\Theta$ non sia un intervallo chiuso per non avere più la certezza che il massimo esista...
Cosa succede (sempre che possa succedere) se per esempio esiste il SUP ma non il MAX?
) piccolo dubbio. Intanto scrivo la definizione:Dato un modello statistico $(\Omega,\mathcal{F},(\mathbb{P}^\theta,\theta\in\Theta))$ tale che $\Theta\subset RR$, si dice che $U$ è una stima di massima verosimiglianza se, per ogni $\omega\in\Omega$, si ha
$L(U(\omega),\omega)=\text{sup}_{\theta\in\Theta} L(\theta,\omega)=\text{sup}_{\theta\in\Theta} \mathbb{P}^\theta(\{\omega\})$ (*)
dove $L$ è la funzione di verosimiglianza, generalmente una funzione $\Theta\times\Omega\to RR^+$.
Intanto osservo che la stima $U$ è una variabile aleatoria necessariamente a valori in $\Theta$ e che la condizione (*) basta che sia verificata al di fuori di un insieme trascurabile secondo $\mathbb{P}^\theta$ per ogni $\theta\in\Theta$, per come è definita la verosimiglianza.
Ora, nella definizione si parla di SUP, ma altrove vedo anche usato il MAX. Se si deve studiare il parametro della legge di Bernoulli va bene usare indistintamente MAX o SUP, intanto $\theta$ non può che essere nell'insieme chiuso $[0,1]$, ma in altri casi? Basta che $\Theta$ non sia un intervallo chiuso per non avere più la certezza che il massimo esista...
Cosa succede (sempre che possa succedere) se per esempio esiste il SUP ma non il MAX?
Risposte
Chissà se faccio bene ad agganciarmi a questo messaggio per proporre un esercizio sulla stima di massima verosimiglianza... Magari può essere comodo perché c'é scritta la definizione... Comunque...
Dovrei calcolare (o meglio, vedere se esiste ed eventualmente calcolarla) la stima di massima verosimiglianza per la seguente funzione di verosimiglianza:
$L(m;i,j)={(1/{m(m-1)},if i;j \leq m),(0, text{altrimenti}):}$
Ecco, mi trovo un po' in difficoltà nella ricerca del $\max_{m\geq 2}$ di questa funzione... Cioè, a occhio mi viene abbastanza naturale accettare che la stima $U$ di massima verosimiglianza sia il massimo tra $i$ e $j$, ma come posso formalizzare la cosa?
Non so se per il calcolo serva altro, comunque lo spazio $\Omega$ è l'insieme delle coppie $(i,j)$ di interi positivi tali che $i\!= j$, mentre $\Theta$ è l'insieme degli interi $m$ maggiori o uguali a $2$..
Dovrei calcolare (o meglio, vedere se esiste ed eventualmente calcolarla) la stima di massima verosimiglianza per la seguente funzione di verosimiglianza:
$L(m;i,j)={(1/{m(m-1)},if i;j \leq m),(0, text{altrimenti}):}$
Ecco, mi trovo un po' in difficoltà nella ricerca del $\max_{m\geq 2}$ di questa funzione... Cioè, a occhio mi viene abbastanza naturale accettare che la stima $U$ di massima verosimiglianza sia il massimo tra $i$ e $j$, ma come posso formalizzare la cosa?
Non so se per il calcolo serva altro, comunque lo spazio $\Omega$ è l'insieme delle coppie $(i,j)$ di interi positivi tali che $i\!= j$, mentre $\Theta$ è l'insieme degli interi $m$ maggiori o uguali a $2$..
Facciamo così.. io ti do la mia stima.. poi la fai verorassomigliante come preferisci tu: a me va bene comunque tu faccia
"tony630":
Facciamo così.. io ti do la mia stima.. poi la fai verorassomigliante come preferisci tu: a me va bene comunque tu faccia
Che dire? Grazie per la stima
Peraltro reciproca 
Considera $N=2,...$
Allora puoi definire L come: $L:N mapsto RR$
definita come,
$L(m)=L(m;i,j)=1/m 1/(m-1) 1_{i !=j} 1_{i<=m} 1_{j<=m}$
Ora $1_{i<=m} 1_{j<=m}\ =\ 1_{\max{i,j}<=m}$
Dunque $L(m)= 1_{\max{i,j}<=m}\ 1/m 1/(m-1) 1_{i !=j}$
Ora se scegli un valore di m minore di max{i,j}; L si annulla. Se invece scegli un valore maggiore non si annulla.
Allora puoi definire L come: $L:N mapsto RR$
definita come,
$L(m)=L(m;i,j)=1/m 1/(m-1) 1_{i !=j} 1_{i<=m} 1_{j<=m}$
Ora $1_{i<=m} 1_{j<=m}\ =\ 1_{\max{i,j}<=m}$
Dunque $L(m)= 1_{\max{i,j}<=m}\ 1/m 1/(m-1) 1_{i !=j}$
Ora se scegli un valore di m minore di max{i,j}; L si annulla. Se invece scegli un valore maggiore non si annulla.
Sì, mi piace perché esibisce la stima di massima verosimiglianza... Grazie!
Io avevo fatto così:
fissato $(i,j)\in\Omega$, per $m$ minore del massimo tra $i$ e $j$, si ha
$0=L(S(i,j);i,j)\geq L(m;i,j)=0$,
mentre per $m$ maggiore o uguale del massimo tra $i$ e $j$, si ha
$L(S(i,j);i,j)=\frac{1}{S(i,j)(1-S(i,j))}\geq \frac{1}{m(m-1)}=L(m;i,j)$
Questo basta per dire che $L(S(i,j);i,j)=\max_{m\geq 2} L(m;i,j)$?
Io penso di sì perché ho detto che $L(S(i,j);i,j)$ è sempre maggiore o uguale e in alcuni punti è uguale (dove sono zero entrambi, ma anche dove $m=max{i,j}$)...
Io avevo fatto così:
fissato $(i,j)\in\Omega$, per $m$ minore del massimo tra $i$ e $j$, si ha
$0=L(S(i,j);i,j)\geq L(m;i,j)=0$,
mentre per $m$ maggiore o uguale del massimo tra $i$ e $j$, si ha
$L(S(i,j);i,j)=\frac{1}{S(i,j)(1-S(i,j))}\geq \frac{1}{m(m-1)}=L(m;i,j)$
Questo basta per dire che $L(S(i,j);i,j)=\max_{m\geq 2} L(m;i,j)$?
Io penso di sì perché ho detto che $L(S(i,j);i,j)$ è sempre maggiore o uguale e in alcuni punti è uguale (dove sono zero entrambi, ma anche dove $m=max{i,j}$)...
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