Sul "concetto" di evento.
Salve a tutti.
Ho iniziato da pochissimo lo studio della teoria della probabilità (da dispense di un professore che ho trovato su internet) e il mio dubbio riguarda la definizione di "evento", per alcuni esempi specifici.
Premetto che vengono definiti lo spazio campione come l'insieme di tutti e soli i possibili risultati dell'esperimento casuale, i punti come i singoli risultati dell'esperimento e gli eventi come particolari sottoinsiemi dell'insieme spazio campione.
Per esporre il mio dubbio, parto da un esempio. Prendiamo il caso di una duplice estrazione di palline: l'urna contiene due palline azzurre e due rosse, e vogliamo calcolare la probabilità che le due palline estratte siano azzurre. Secondo le diverse definizioni che ho indicato prima, l’evento “la prima pallina estratta è azzurra” è rappresentato da tutte le coppie aventi come primo termine una delle due palline azzurre e, come secondo termine, la rimanente pallina azzurra o una delle due rosse mentre, allo stesso modo, l’evento “la seconda pallina è azzurra” sarebbe rappresentato da tutte le coppie aventi come secondo termine una delle due palline azzurre e, come primo termine, la rimanente pallina azzurra o una delle due rosse: la scelta, che sarei orientato a fare io, di considerare gli eventi come insieme di coppie e non come insieme di numeri singoli è legata sempre al fatto di considerare gli eventi come sottoinsiemi dell’insieme spazio campione che, corrispondendo a tutte le possibili combinazioni (“in coppia”) tra le palline dell’urna, è anch’esso composto da coppie.
Negli esercizi o negli esempi che trovo su internet, vedo, invece, che la probabilità di un singolo evento viene, in casi analoghi all’esempio da me proposto, rappresentato dalla probabilità di estrazione di una singola pallina, senza tener conto di tutte le possibili coppie in cui la pallina sarebbe inserita. A dire il vero, questo “salto” pare si verifichi (ho consultato numerosi esempi, e non riesco purtroppo a ricordare tutti i casi che ho visto) con l’introduzione del concetto di probabilità condizionata che, tuttavia, viene comunque presentato, almeno nelle dispense che sto consultando, facendo riferimento, sempre parlando dell’esempio che io ho presentato, a coppie.
Il mio dubbio riguarda, quindi, la giustificazione di questo “salto” concettuale, che non riesco a spiegare, in modo più o meno rigoroso, ma solo verificando che, operando nell’uno e nell’altro modo, i risultati sono sempre gli stessi. Qualcuno può aiutarmi?
Ho iniziato da pochissimo lo studio della teoria della probabilità (da dispense di un professore che ho trovato su internet) e il mio dubbio riguarda la definizione di "evento", per alcuni esempi specifici.
Premetto che vengono definiti lo spazio campione come l'insieme di tutti e soli i possibili risultati dell'esperimento casuale, i punti come i singoli risultati dell'esperimento e gli eventi come particolari sottoinsiemi dell'insieme spazio campione.
Per esporre il mio dubbio, parto da un esempio. Prendiamo il caso di una duplice estrazione di palline: l'urna contiene due palline azzurre e due rosse, e vogliamo calcolare la probabilità che le due palline estratte siano azzurre. Secondo le diverse definizioni che ho indicato prima, l’evento “la prima pallina estratta è azzurra” è rappresentato da tutte le coppie aventi come primo termine una delle due palline azzurre e, come secondo termine, la rimanente pallina azzurra o una delle due rosse mentre, allo stesso modo, l’evento “la seconda pallina è azzurra” sarebbe rappresentato da tutte le coppie aventi come secondo termine una delle due palline azzurre e, come primo termine, la rimanente pallina azzurra o una delle due rosse: la scelta, che sarei orientato a fare io, di considerare gli eventi come insieme di coppie e non come insieme di numeri singoli è legata sempre al fatto di considerare gli eventi come sottoinsiemi dell’insieme spazio campione che, corrispondendo a tutte le possibili combinazioni (“in coppia”) tra le palline dell’urna, è anch’esso composto da coppie.
Negli esercizi o negli esempi che trovo su internet, vedo, invece, che la probabilità di un singolo evento viene, in casi analoghi all’esempio da me proposto, rappresentato dalla probabilità di estrazione di una singola pallina, senza tener conto di tutte le possibili coppie in cui la pallina sarebbe inserita. A dire il vero, questo “salto” pare si verifichi (ho consultato numerosi esempi, e non riesco purtroppo a ricordare tutti i casi che ho visto) con l’introduzione del concetto di probabilità condizionata che, tuttavia, viene comunque presentato, almeno nelle dispense che sto consultando, facendo riferimento, sempre parlando dell’esempio che io ho presentato, a coppie.
Il mio dubbio riguarda, quindi, la giustificazione di questo “salto” concettuale, che non riesco a spiegare, in modo più o meno rigoroso, ma solo verificando che, operando nell’uno e nell’altro modo, i risultati sono sempre gli stessi. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
"turtle87":
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Ho iniziato da pochissimo lo studio della teoria della probabilità (da dispense di un professore che ho trovato su internet)
Prendiamo il caso di una duplice estrazione di palline: l'urna contiene due palline azzurre e due rosse, e vogliamo calcolare la probabilità che le due palline estratte siano azzurre.
se posso darti un consiglio, invece che cercare dispense su internet non ben identificate, ti consiglio di studiare i testi classici dove tutto è spiegato in modo esemplare.
Nel caso in esame, ad esempio, hai dimenticato di specificare come viene fatta l'estrazione....e non è una dimenticanza da poco
1) Estrazione con reimmissione
$P(A A)=(1/2)^2=1/4$
2) Estrazione senza reimmissione
$P(A A)=(((2),(2)))/(((4),(2)))=1/6$
saluti
Grazie per la risposta 
Me ne consigli qualcuno, magari, legalmente ovviamente (sempre che sia possibile questa cosa), presente in rete?
Ho volutamente omesso di indicarlo, proprio perché credevo, nella mia ignoranza, che passare dal considerare le coppie di palline estratte a considerare l'estrazione singola, nell'individuazione formale degli "eventi" fosse qualcosa che prescindesse dal discorso della reimmissione o della non reimmissione. Non è così, mi pare di capire, giusto?
se posso darti un consiglio, invece che cercare dispense su internet non ben identificate, ti consiglio di studiare i testi classici dove tutto è spiegato in modo esemplare.
Me ne consigli qualcuno, magari, legalmente ovviamente (sempre che sia possibile questa cosa), presente in rete?
Nel caso in esame hai dimenticato di specificare come viene fatta l'estrazione....e non è una dimenticanza da poco
Ho volutamente omesso di indicarlo, proprio perché credevo, nella mia ignoranza, che passare dal considerare le coppie di palline estratte a considerare l'estrazione singola, nell'individuazione formale degli "eventi" fosse qualcosa che prescindesse dal discorso della reimmissione o della non reimmissione. Non è così, mi pare di capire, giusto?
"turtle87":
credevo... che passare dal considerare le coppie di palline estratte a considerare l'estrazione singola, nell'individuazione formale degli "eventi" fosse qualcosa che prescindesse dal discorso della reimmissione o della non reimmissione.
considerare l'estrazione a coppie o singola non è che lo puoi scegliere tu....se l'esperimento è: estraiamo una coppia di palline dall'urna abbiamo $Omega={(A A), (A R), (R A), (R R)}$
Il problema è che per calcolare la probabilità di ogni singolo evento elementare $omega_i$ devi considerare il tipo di campionamento, con o senza reimmissione.
Se l'estrazione è con reimmissione tutte le estrazioni sono stocasticamente indipendenti.
se invece l'estrazione è senza reimmissione allora ciò non accade. Il metodo di ridursi a sommare le probabilità di eventi elementari è sicuramente la strada più corretta dal punto di vista metodologico, ma spesso davvero complicata (e comunque inutile dal punto di vista della risoluzione degli esercizi)
I testi migliori sono questi:
- Mood Graybill Boes: introduzione alla Statistica (McGtawHill)
- Sheldon Ross: Probabilità e Statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo
- Casella Berger: Statistical Inference
- Baldi: Calcolo delle probabilità (McGRaw Hill)
- Piccolo: Statitica (il Mulino)
In rete non so...sicuramente lo Sheldon Ross
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