Sul concetto di Tower Property per il Valore Atteso (Martingala)
L'altro giorno ci hanno spiegato le proprietà dei valori attesi condizionati, per poi arrivare a definire concettualmente una Martingala. faccio un breve riepilogo per chi non si ricorda cosa sia una Martingala:
Una Martingala è un Processo Stocastico $ X_n $ (una successione di v.c $ =X_1,X_2,X_3,... $ ) che assume valori discreti rispetto alla filtrazione $ \mathcal{{F_n} $ (cioè una collezione di $ sigma-alg ebre $ $ =\mathcal{F_1\subsetF_2\subset...\subsetF_n $ ) se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:
1)$\mathbb{E} [|X_n|] < oo $
2) $ \mathbb{E} $ $ [X_(n+1)| $ $ \mathcal{F_n}] $ $ =X_n $
3)ciascuna v.c. che fa parte del P.S.(proc. stocast) deve avere valore atteso costante.
La prima proprietà dice che il valore atteso di ogni v.c. del processo stocastico esiste finito.
La seconda proprietà ci dice che il val. atteso della v.c. del processo $X_(n+1)$ condizionata alla $ sigma-alg ebra $ $ \mathcalF_n $ , dove questa $ sigma-alg ebra $ rappresenta l'informazione che si possiede nell'istante n è.. $ =X_n $ .
Essendo la Martingala un P.S. legato al tempo, in ogni istante di tempo ognuna di queste v.c. assumerà un determinato valore. In sostanza il valore atteso della prossima v.c. (relativa a un nuovo istante temporale $X_(n+1)$) è condizionato dall'informazione che conosco fino all'istante precedente $\mathcal{F_n}$
ARRIVO AL DUNQUE:
Per la dimostrazione della seconda condizione che caraterizza la Martingala è stata utilizzata (dal mio prof) la Tower Property (una propr del val.atteso condizionato), ovvero: $ \mathbbE[X_n|\mathcal{F_k}]=X_k $ dove $ n>k $ (che sono due istanti del tempo) $ \mathbbE[X_n|\mathcal{F_k}]=\mathbbE[mathbbE[X_n|mathcal{F_(n-1))]|mathcalF_k]= mathbbE[X_(n-1)|mathcalF_k]= mathbbE[mathbbE[X_(n-1)|mathcalF_(n-2)]|mathcalF_k]= $
$ =mathbbE[X_(n-2)|mathcalF_k]=....mathbbE[X_(k+1)|mathcalF_k]=X_n $
in questo caso, dalla dimostrazione, si nota che è LA SIGMA-ALGEBRA PIù PICCOLA (in k) CHE CONDIZIONA IL VALORE ATTESO DELLA NUOVA V.C.
Questa dimostrazione per me non ha senso,
mi spiego meglio:
in soldoni dice che il valore atteso della variabile casuale $ X_n $ (mettiamo caso il prezzo del caffè oggi) al tempo presente è condizionato dall'informazione che io ho acquisito in k.
mettiamo caso adesso che k= 2 mesi fa, mentre n= tempo presente...
CHE SENSO HA DIRE CHE IL VALORE ATT DELLA V.C. AL TEMPO PRESENTE n (ovvero il prezzo del caffè oggi) è CONDIZIONATO DALL INFORMAZIONE CHE IO AVEVO 2 MESI FA E DUNQUE IL VALORE ATTESO è = $ X_k $ ? IL PREZZO DEL CAFFè DI OGGI DOVREBBE ESSERE CONDIZIONATO DALL'INFORMAZIONE CHE IO AVEVO IERI $ \mathcalF_(n-1) $, non da quella di due mesi fa.
Dico che non ha senso perchè per arrivare a questa dimostrazione si è partiti dall'informazione presente in $ \mathcalF_(n-1) $ che quindi si da per assunto di conoscere . Com'è possibile che sia l'informazione che ho conosciuto 2 mesi fa (in k) che mi condiziona il valore atteso del caffè all'istante presente (considerando il fatto che conosco tutta l'informazione, cioè le sigma-algebre, compresa tra k e n-1)?
Non dovrebbe essere LA NUOVA INFORMAZIONE nell'istante n-1(ieri) CHE CONDIZIONA IL VALORE ATTESO DELLA V.C. NEL NUOVO ISTANTE n?? La sigma-algebra $ \mathcalF_(n-1) $ include tutta la vecchia informazione $ \mathcalF_(n-1),\mathcalF_(n-2),...,\mathcalF_(k) $. Dovrebbe essere la nuova informazione a condizionare e ad essere rilevante, non la vecchia..
Considerando il fatto che che ogni giorno si ha sempre una nuova sigma-algebra (spazio probabilistico in espansione) e una nuova informazione e che questa influenzerà nuovamente il mio valore atteso..
Per concludere mi sembra una dimostrazione fatta al contrario contestualmente ad una Martingala.. la tower property ha senso nel caso di uno spazio probabilistico FINITO(nel lancio di un dado qual'è la probabilità che esca 2 sapendo che è uscito un numero pari? e in questo caso è giusto che sia una sigma-algebra più piccola a condizionare..), NON IN UNO SPAZIO IN ESPANSIONE dov'è invece è la nuova sigma-algebra ad essere CONDIZIONANTE!!
1 ora per scrivere questo papiro
scusate ma tra colleghi che si limitano a studiare la formuletta a memoria e professori superficiali non ho un termine di confronto adeguato. Fatemi sapere cosa ne pensate, ciao 
Una Martingala è un Processo Stocastico $ X_n $ (una successione di v.c $ =X_1,X_2,X_3,... $ ) che assume valori discreti rispetto alla filtrazione $ \mathcal{{F_n} $ (cioè una collezione di $ sigma-alg ebre $ $ =\mathcal{F_1\subsetF_2\subset...\subsetF_n $ ) se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:
1)$\mathbb{E} [|X_n|] < oo $
2) $ \mathbb{E} $ $ [X_(n+1)| $ $ \mathcal{F_n}] $ $ =X_n $
3)ciascuna v.c. che fa parte del P.S.(proc. stocast) deve avere valore atteso costante.
La prima proprietà dice che il valore atteso di ogni v.c. del processo stocastico esiste finito.
La seconda proprietà ci dice che il val. atteso della v.c. del processo $X_(n+1)$ condizionata alla $ sigma-alg ebra $ $ \mathcalF_n $ , dove questa $ sigma-alg ebra $ rappresenta l'informazione che si possiede nell'istante n è.. $ =X_n $ .
Essendo la Martingala un P.S. legato al tempo, in ogni istante di tempo ognuna di queste v.c. assumerà un determinato valore. In sostanza il valore atteso della prossima v.c. (relativa a un nuovo istante temporale $X_(n+1)$) è condizionato dall'informazione che conosco fino all'istante precedente $\mathcal{F_n}$
ARRIVO AL DUNQUE:
Per la dimostrazione della seconda condizione che caraterizza la Martingala è stata utilizzata (dal mio prof) la Tower Property (una propr del val.atteso condizionato), ovvero: $ \mathbbE[X_n|\mathcal{F_k}]=X_k $ dove $ n>k $ (che sono due istanti del tempo) $ \mathbbE[X_n|\mathcal{F_k}]=\mathbbE[mathbbE[X_n|mathcal{F_(n-1))]|mathcalF_k]= mathbbE[X_(n-1)|mathcalF_k]= mathbbE[mathbbE[X_(n-1)|mathcalF_(n-2)]|mathcalF_k]= $
$ =mathbbE[X_(n-2)|mathcalF_k]=....mathbbE[X_(k+1)|mathcalF_k]=X_n $
in questo caso, dalla dimostrazione, si nota che è LA SIGMA-ALGEBRA PIù PICCOLA (in k) CHE CONDIZIONA IL VALORE ATTESO DELLA NUOVA V.C.
Questa dimostrazione per me non ha senso,
mi spiego meglio:
in soldoni dice che il valore atteso della variabile casuale $ X_n $ (mettiamo caso il prezzo del caffè oggi) al tempo presente è condizionato dall'informazione che io ho acquisito in k.
mettiamo caso adesso che k= 2 mesi fa, mentre n= tempo presente...
CHE SENSO HA DIRE CHE IL VALORE ATT DELLA V.C. AL TEMPO PRESENTE n (ovvero il prezzo del caffè oggi) è CONDIZIONATO DALL INFORMAZIONE CHE IO AVEVO 2 MESI FA E DUNQUE IL VALORE ATTESO è = $ X_k $ ? IL PREZZO DEL CAFFè DI OGGI DOVREBBE ESSERE CONDIZIONATO DALL'INFORMAZIONE CHE IO AVEVO IERI $ \mathcalF_(n-1) $, non da quella di due mesi fa.
Dico che non ha senso perchè per arrivare a questa dimostrazione si è partiti dall'informazione presente in $ \mathcalF_(n-1) $ che quindi si da per assunto di conoscere . Com'è possibile che sia l'informazione che ho conosciuto 2 mesi fa (in k) che mi condiziona il valore atteso del caffè all'istante presente (considerando il fatto che conosco tutta l'informazione, cioè le sigma-algebre, compresa tra k e n-1)?
Non dovrebbe essere LA NUOVA INFORMAZIONE nell'istante n-1(ieri) CHE CONDIZIONA IL VALORE ATTESO DELLA V.C. NEL NUOVO ISTANTE n?? La sigma-algebra $ \mathcalF_(n-1) $ include tutta la vecchia informazione $ \mathcalF_(n-1),\mathcalF_(n-2),...,\mathcalF_(k) $. Dovrebbe essere la nuova informazione a condizionare e ad essere rilevante, non la vecchia..
Considerando il fatto che che ogni giorno si ha sempre una nuova sigma-algebra (spazio probabilistico in espansione) e una nuova informazione e che questa influenzerà nuovamente il mio valore atteso..
Per concludere mi sembra una dimostrazione fatta al contrario contestualmente ad una Martingala.. la tower property ha senso nel caso di uno spazio probabilistico FINITO(nel lancio di un dado qual'è la probabilità che esca 2 sapendo che è uscito un numero pari? e in questo caso è giusto che sia una sigma-algebra più piccola a condizionare..), NON IN UNO SPAZIO IN ESPANSIONE dov'è invece è la nuova sigma-algebra ad essere CONDIZIONANTE!!
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scusate ma tra colleghi che si limitano a studiare la formuletta a memoria e professori superficiali non ho un termine di confronto adeguato. Fatemi sapere cosa ne pensate, ciao
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