Successioni di variabili aleatorie
Mi date una mano con questo esercizio?
Siano $ X_1, ..., X_n $ variabili aleatorie discrete e indipendenti per le quali sia $ X_i∼Poisson(λ_i) $ per $ i=1, ..., n $
Tramite la funzione caratteristica si ricavi la funzione di probabilità della variabile aleatoria $ S_n=sum_(i=1)^nX_i $. Verificare se per la variabile aleatoria $ S_n $ vale $ (S_n-E(S_n))/n->0 $ (convergenza quasi certa).
Grazie.
Siano $ X_1, ..., X_n $ variabili aleatorie discrete e indipendenti per le quali sia $ X_i∼Poisson(λ_i) $ per $ i=1, ..., n $
Tramite la funzione caratteristica si ricavi la funzione di probabilità della variabile aleatoria $ S_n=sum_(i=1)^nX_i $. Verificare se per la variabile aleatoria $ S_n $ vale $ (S_n-E(S_n))/n->0 $ (convergenza quasi certa).
Grazie.
Risposte
Ciao,
per poter fugare i tuoi dubbi ti converebbe postare un tuo modo di procedere e vedere dove ti blocchi.
La prima parte richiede solo un calcolo esplicito di una trasformata, per la parte riguardante la convergenza
scegli un criterio per ottenre la "quasi certa", in generale si tratta di stimare la probabilità che $|S_n-E(S_n)|>\epsilon$ rispetto a $n$.
Per il resto bisogna solo mettersi lì a provare.
Andrea
per poter fugare i tuoi dubbi ti converebbe postare un tuo modo di procedere e vedere dove ti blocchi.
La prima parte richiede solo un calcolo esplicito di una trasformata, per la parte riguardante la convergenza
scegli un criterio per ottenre la "quasi certa", in generale si tratta di stimare la probabilità che $|S_n-E(S_n)|>\epsilon$ rispetto a $n$.
Per il resto bisogna solo mettersi lì a provare.
Andrea
In primis non riesco a calcolare la funzione di probabilità di $ S_n $, non so come procedere...
$ psi_x(U)=e^(mu(e^(iu)-1)) $ poi?
Nella verifica della convergenza non so da dove partire
, help me.
$ psi_x(U)=e^(mu(e^(iu)-1)) $ poi?
Nella verifica della convergenza non so da dove partire
, help me.
Ciao,
la funzione caratteristica determina univocamente la distribuzione di probabilità, quindi una volta calcolata dovresti dedurre dalla sua forma quale sia la distribuzione della $S_n$.
L'indipendenza ti permette di fattorizzare la funzione caratteristica...basta provare con $n=2$ per farsi un'idea di cosa dovrebbe venire fuori.
Per la convergenza "quasi certa" di solito non ci sono molte strade, la tecnica standard è valutare la serie $\sum_{n\ge 0}P(|S_n-E(S_n)|\ge \epsilon)$ e vedere se converge (tu qui stai dividendo anche per $n$, quindi un aiuto in più sul tasso di convergenza).
la funzione caratteristica determina univocamente la distribuzione di probabilità, quindi una volta calcolata dovresti dedurre dalla sua forma quale sia la distribuzione della $S_n$.
L'indipendenza ti permette di fattorizzare la funzione caratteristica...basta provare con $n=2$ per farsi un'idea di cosa dovrebbe venire fuori.
Per la convergenza "quasi certa" di solito non ci sono molte strade, la tecnica standard è valutare la serie $\sum_{n\ge 0}P(|S_n-E(S_n)|\ge \epsilon)$ e vedere se converge (tu qui stai dividendo anche per $n$, quindi un aiuto in più sul tasso di convergenza).
Avevo stamattina l'esame e me la sono cavata con un 26, grazie lo stesso 
Solo una curiosità "off-topic", per quale corso di laurea?
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