Successione monotona

[narco89]

Salve a tutti,

mi sto incastrando con un esercizio di probabilità avanzata che non riesco proprio a sbrogliare. Mi appello dunque alle vostre menti...

Devo verificare che:
a) se $A_n$ è una successione monotona con $A_n \sube A_{n+1}$ allora:
$lim_{n} \text{inf} \ A_n = lim_{n} \text{sup} = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$

a) se $B_n$ è una successione monotona con $B_n \supe B_{n+1}$ allora:
$lim_{n} \text{inf} \ B_n = lim_{n} \text{sup} = \bigcap_{n=1}^\infty B_n$

Grazie mille

[narco89]

Nessuno mi riesce a dare una mano?

[Rigel1]

Basta guardare le definizioni:
\[
\liminf_n A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k, \qquad
\limsup_n A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k.
\]
Consideriamo il caso \(A_n \subseteq A_{n+1}\) per ogni \(n\).
Chiaramente
\[
\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k = A_n \qquad \forall n\geq 1,
\]
dunque
\[
(1) \qquad \liminf_n A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n.
\]
D'altra parte
\[
(2) \qquad \liminf_n A_n \subseteq \limsup_n A_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
\]
quindi da (1) e (2) possiamo concludere che
\[
\liminf_n A_n = \limsup_n A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n.
\]
In modo analogo puoi ragionare per i \(B_n\).

P.S.: sono vietati i "bump" prima delle 24 ore.